无意间看到这样的一个题目，题目内容是：

用4个砝码称出1到40的重量的物体，这四个砝码的重量分别是多少？？

此处有一点必须注意，很多人一拿到题目（包括我自己），一下子就想到了二进制的解法，可是立刻就发现，二进制的40需要的位数大于4位，也就是说不靠谱。

更加值得注意的是，二进制的方法用在此处，相当于只是将砝码做加法，并未考虑减法，见过天平的同学都知道，砝码是可以和物体放在一边的。因此是可以做减法的。

看了大多数人的题解，提到了，这是一个“梅式砝码”的问题，首先：作出如下假设：（有点类似数学归纳）

假设现在有a1,a2,a3,....,am个砝码，移动可以称出 （1  到  a1+a2+a3+....am）这些重量的物体，

那么再增加一个重量为 b =  (a1+a2+...+am)*2+1 的物体，那么就可以称出重量为  1  到  (a1+a2+...+am)*2+1 的物体。

虽然这个结论很显然，但是做一个小推断吧：

首先，通过 这 a1,a2,a3,....,am    m个砝码，可以得到数字  1,2,3 ， 。。。 ， （a1+a2+...+am）。

其次，加入  b 之后，可以得到的重量： 1,2,3 ， ..., （a1+a2+...+am）依然可以得到。

接着利用b分别去减上述得到的重量，

可以得到: 

b - 1 =( a1 + a2 + ... +am)*2;  

b - 2 =( a1 + a2 + ... +am)*2-1;

..... , 

b - (a1+a2+...+am) = (a1+a2+...+am)+1;

将这些重量逆序。便是  （a1+a2+...+am）+1 到  ( a1 + a2 + ... +am)*2 +1 的重量了。

显然，可以通过上述递推式得到答案为 1,3,9,27

关于此问题的一些思考：

当我把这道题问其他人的时候，一致想到的都是进制相关的问题，也就是说40用二进制表示需要的位数是大于4的，那么不能使用二进制来考虑，他直接脱口而出答案，让我特别惊讶，他的理由是：不能使用二进制，那就是用3进制啊。

这难道只是巧合吗？至今想不明白。。。既然所有的进制都能表示所有的整数，那么为什么其他进制不可以呢。唯一能够想到的限制便是这里的砝码的个数只能是1，也就是说在该进制表示下，各个位上的数字只能是1，不论是加法或者是减法。

很值得思考的问题~~