在自然语言学习过程中，每个人一定都学过语法，例如句子可以用主语、谓语、宾语来表示。在自然语言的处理过程中，有许多应用场景都需要考虑句子的语法，因此研究语法解析变得非常重要。

语法解析有两个主要的问题，其一是句子语法在计算机中的表达与存储方法，以及语料数据集；其二是语法解析的算法。

对于第一个问题，我们可以用树状结构图来表示，如下图所示，S表示句子；NP、VP、PP是名词、动词、介词短语（短语级别）；N、V、P分别是名词、动词、介词。

实际存储的时候上述的树可以表示为(S (NP (N Boeing)) (VP (V is) (VP (V located) (PP (P in) (NP (N Seattle))))))。互联网上已经有成熟的、手工标注的语料数据集，例如The Penn Treebank Project （Penn Treebank II Constituent Tags）。

对于第二个问题，我们需要有合适的算法来处理。这也是我们本章将要讨论的内容。

上下文无关语法（Context-Free Grammer）

为了生成句子的语法树，我们可以定义如下的一套上下文无关语法。

1）N表示一组非叶子节点的标注，例如{S、NP、VP、N...}

2）Σ表示一组叶子结点的标注，例如{boeing、is...}

3）R表示一组规则，每条规则可以表示为X->Y1Y2...Yn，X∈N，Yi∈(N∪Σ)

4）S表示语法树开始的标注

举例来说，语法的一个语法子集可以表示为下图所示。当给定一个句子时，我们便可以按照从左到右的顺序来解析语法。例如，句子the man sleeps就可以表示为(S (NP (DT the) (NN man)) (VP sleeps))。

这种上下文无关的语法可以很容易的推导出一个句子的语法结构，但是缺点是推导出的结构可能存在二义性。例如下面两张图中的语法树都可以表示同一个句子。常见的二义性问题有：1）单词的不同词性，如can一般表示“可以”这个情态动词，有时表示罐子；2）介词短语的作用范围，如VP PP PP这样的结构，第二个介词短语可能形容VP，也可能形容第一个PP；3）连续的名字，如NN NN NN。

  

综上所述，当我们或得多颗语法树时，我们可以分别计算每颗语法树的概率p(t)，出现概率最大的那颗语法树就是我们希望得到的结果，即arg max p(t)。

训练算法

在CFG的定义的基础上，我们重新定义一种叫Chomsky的语法格式。这种格式要求每条规则只能是X -> Y1 Y2或者X -> Y的格式。实际上Chomsky语法格式保证生产的语法树总是二叉树的格式，同时任意一棵语法树总是能够转化成Chomsky语法格式。

语法树预测算法

假设我们已经有一个PCFG的模型，包含N、Σ、R、S、p(x)等参数，并且语法树总数Chomsky语法格式。当输入一个句子x1, x2, ... , xn时，我们要如何计算句子对应的语法树呢？

第一种方法是暴力遍历的方法，每个单词x可能有m = len(N)种取值，句子长度是n，每种情况至少存在n个规则，所以在时间复杂度O(m*n*n)的情况下，我们可以判断出所有可能的语法树并计算出最佳的那个。

第二种方法当然是动态规划，我们定义w[i, j, X]是第i个单词至第j个单词由标注X来表示的最大概率。直观来讲，例如xi, xi+1, ... , xj，当X=PP时，子树可能是多种解释方式，如(P NP)或者(PP PP)，但是w[i, j, PP]代表的是继续往上一层递归时，我们只选择当前概率最大的组合方式。特殊情况下，w[i, i, X] = p(X -> xi)。因此，动态规划的方程可以表示为w[i, j, X] = max (p(X -> Y Z) * w(i, s, Y) * w(s+1, j, Z))。关于动态规划方法，leetcode里有不少案例可以说明。

语法解析按照上述的算法过程便完成了。虽说PCFG也有一些缺点，例如：1）缺乏词法信息；2）连续短语（如名词、介词）的处理等。但总体来讲它给语法解析提供了一种非常有效的实现方法。