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Josephus排列
思考与分析：
对于m为常数，可以用循环链表，用head,tail标志头尾指针使其易于表示循环结构。循环输出后删除结点n次，每次外层循环时，内层都固定循环m次。所以运行时间为O(mn)=O(n).
对于m为非常数。可以用顺序统计树，用size属性记录每个结点在当前树中所在的位置。经过一个取余过程，每次都能正确找到并输出删除每个结点，在经过n次循环，每次循环都要找到一个结点输出并删除它，所以每次循环都要花费O(lgn)时间。总的运行时间是O(nlgn).
代码如下：
m为常数时：
#include <iostream>
using namespace std;
#define n 10
#define m 3
#define LEN sizeof(struct circular_list)
struct circular_list
{
int key;
struct circular_list* next;
};
struct circular_list*tail=NULL;
struct circular_list*Insert(struct circular_list*&head,int k)
{
struct circular_list*z=new struct circular_list[LEN];
z->key=k;
if (head==NULL)
{
head=tail=z;
head->next=tail;
}
else
{
tail->next=z;
z->next=head;
tail=z;
}
return head;
}
struct circular_list* Delete(struct circular_list*&head,struct circular_list*z)
{
struct circular_list*p=head;
while (p->next!=z)
{
p=p->next;
}
if (head==tail)
{
p->next=NULL;
}
else
{
if (head==p->next)
{
head=p->next->next;
}
else if (tail==p->next)
{
tail=p;
}
p->next=p->next->next;
}
return p->next;
}
void n_m_Josephus(struct circular_list*&head)
{
struct circular_list*p=head;
while (p)
{
int i=0;
while (i!=m-1)
{
p=p->next;
i++;
}
struct circular_list*z=p;
cout<<z->key<<" ";
p=Delete(head,z);
}
}
void main()
{
int a[n]={0};
for (int i=0;i<n;i++)
{
a[i]=i+1;
}
int j=0;
struct circular_list*head=NULL;
while (j!=n)
{
head=Insert(head,a[j]);
j++;;
}
struct circular_list*p=head;
do
{
cout<<p->key;
p=p->next;
} while (p!=head);
cout<<endl;
n_m_Josephus(head);
}m不是常数时：
#include <iostream>
#include <time.h>
using namespace std;
#define BLACK 0
#define RED 1
#define Nil -1
#define LEN sizeof(struct OS_Tree)
struct OS_Tree
{
struct OS_Tree*right,*left;
struct OS_Tree*parent;
int key,color,size;//size表示子树的结点数。
};
struct OS_Tree*root=NULL,*nil=NULL;
void LEFT_ROTATE(struct OS_Tree*x)
{//左旋转：分三个步骤①②③来叙述旋转代码的。
struct OS_Tree*y=x->right;//设置y结点。
x->right=y->left;//本行代码以及下面的if结构表达的是“y的左孩子成为x的右孩子”。①
if(y->left!=nil)
{
y->left->parent=x;
}
y->parent=x->parent;//本行代码以及下面的if-else结构表达的过程是“y成为该子树新的根”。②
if(x->parent==nil)
{
root=y;
}
else if(x==x->parent->left)
{
x->parent->left=y;
}
else x->parent->right=y;
y->left=x;//本行代码以及下面一行都表达了“x成为y的左孩子”。③
x->parent=y;
y->size = x->size; //对附加信息的维护
x->size = x->left->size + x->right->size +1;
}
void RIGHT_ROTATE(struct OS_Tree*x)
{//右旋转：分三个步骤①②③来叙述旋转代码的。
struct OS_Tree*y=x->left;//设置y结点。
x->left=y->right;//本行代码以及下面的if结构表达的是“y的左孩子成为x的右孩子”。①
if(y->right!=nil)
{
y->right->parent=x;
}
y->parent=x->parent;//本行代码以及下面的if-else结构表达的过程是“y成为该子树新的根”。②
if(x->parent==nil)
{
root=y;
}
else if(x==x->parent->right)
{
x->parent->right=y;
}
else x->parent->left=y;
y->right=x;//本行代码以及下面一行都表达了“x成为y的左孩子”。③
x->parent=y;
y->size = x->size; //对附加信息的维护
x->size = x->left->size + x->right->size +1;
}
void RB_INSERT_FIXUP(struct OS_Tree*z)
{
while (z->parent->color==RED)
{
if (z->parent==z->parent->parent->left)
{
struct OS_Tree*y=z->parent->parent->right;//叔结点
if (y->color==RED)//情况一：叔结点为红色
{//给p1,y,p2着色以保持性质5。并且解决了z的父结点和z都是红色结点问题
z->parent->color=BLACK;
y->color=BLACK;
z->parent->parent->color=RED;
z=z->parent->parent;//把z的祖父结点当成新结点z进入下一次循环
}
else
{
if (z==z->parent->right)//情况二：检查z是否是一个右孩子且叔结点为黑色，前提是p1结点不是叶子结点
{//使用一个左旋让情况2转变为情况3
z=z->parent;
LEFT_ROTATE(z);//由于进入if语句后可知旋转结点不可能是叶子结点，这样就不用判断z是否是叶子结点了。
}
z->parent->color=BLACK;//情况三：是z是一个左孩子且叔结点为黑色，改变z的父和祖父结点颜色并做一次右旋，以保持性质5
z->parent->parent->color=RED;
RIGHT_ROTATE(z->parent->parent);//由于p2可能是叶子结点，所以最好还是用一个if判断
}
}
else//下面else分支类似于上面,注意到else分支的情况2和情况3所做旋转正好是if分支情况的逆。
{
struct OS_Tree*y=z->parent->parent->left;
if (y->color==RED)
{
z->parent->color=BLACK;
y->color=BLACK;
z->parent->parent->color=RED;
z=z->parent->parent;
}
else
{
if (z==z->parent->left)
{
z=z->parent;
RIGHT_ROTATE(z);
}
z->parent->color=BLACK;
z->parent->parent->color=RED;
LEFT_ROTATE(z->parent->parent);
}
}
}
root->color=BLACK;//最后给根结点着为黑色。
}
void RB_INSERT(struct OS_Tree*z)
{
struct OS_Tree*y=nil;
struct OS_Tree*x=root;
while (x!=nil)
{
x->size++;
y=x;
if (z->key<x->key)
{
x=x->left;
}
else x=x->right;
}
z->parent=y;
if (y==nil)
{
root=z;
}
else if(z->key<y->key)
{
y->left=z;
}
else y->right=z;
z->left=nil;//给插入结点左右孩子赋值为空。
z->right=nil;
z->color=RED;//给插入结点着为红色。
z->size=1;
z->left->size=0;
z->right->size=0;
RB_INSERT_FIXUP(z);
}
void RB_TRANSPLANT(struct OS_Tree*u,struct OS_Tree*v)
{
if (u->parent==nil)
root=v;
else if(u==u->parent->left)
u->parent->left=v;
else u->parent->right=v;
v->parent=u->parent;
}
struct OS_Tree*TREE_MINIMUM(struct OS_Tree*x)//求二叉查找树当前结点最小值
{
while (x!=nil&&x->left!=nil)
{
x=x->left;
}
return x;
}
struct OS_Tree*TREE_MAXINUM(struct OS_Tree*x)//求二叉查找树当前结点最大值
{
while (x!=nil&&x->right!=nil)
{
x=x->right;
}
return x;
}
struct OS_Tree*TREE_PREDECESSOR(struct OS_Tree*x)//查找二叉查找树的前驱
{
if (x->left!=nil)
{
return TREE_MAXINUM(x->left);
}
struct OS_Tree*y=x->parent;
while (y!=nil&&x==y->left)
{
x=y;
y=y->parent;
}
return y;
}
struct OS_Tree*TREE_SUCCESSOR(struct OS_Tree*x)//查找二叉查找树的后继
{
if (x->right!=nil)
{
return TREE_MINIMUM(x->right);
}
struct OS_Tree*y=x->parent;
while (y!=nil&&x==y->right)
{
x=y;
y=y->parent;
}
return y;
}
//非递归版本的二叉查找树查找函数
struct OS_Tree*ITERATIVE_TREE_SEARCH(struct OS_Tree*x,int k)
{
while (x!=nil&&k!=x->key)
{
if (k<x->key)
{
x=x->left;
}
else x=x->right;
}
return x;
}
void RB_DELETE_FIXUP(struct OS_Tree*x)
{
struct OS_Tree*w=NULL;//w是x的兄弟结点
while (x!=root&&x->color==BLACK)//如果x是黑色并且不是根结点，才进行循环。
{//x是一个具有双重颜色的结点，调整的目的是把x的黑色属性向上移动。
if (x==x->parent->left)
{
w=x->parent->right;
if (w->color==RED)//情况一：x的兄弟结点w是红色的。
{//改变w和x.p的颜色+一次旋转使其变为情况二，三，四。
w->color=BLACK;
x->parent->color=RED;
LEFT_ROTATE(x->parent);
w=x->parent->right;
}
if (w->left->color==BLACK&&w->right->color==BLACK)//情况二：x的兄弟结点w是黑色的，而且w的两个子节点都是黑色。
{
w->color=RED;//从x和w上去掉一重黑色。x还是黑色，而w变为红色。
x=x->parent;//x结点向上移动成为新的待调整结点。
}
else
{
if (w->right->color==BLACK)//情况三：x的兄弟结点w是黑色的，w的左孩子是红色的，w的右孩子是黑色的。
{//交换w和w.left的颜色+旋转使其转变为情况四。
w->left->color=BLACK;
w->color=RED;
RIGHT_ROTATE(w);
w=x->parent->right;
}
w->color=x->parent->color;//以下是情况四：x的兄弟结点w是黑色的，且w的右孩子是红色的。
x->parent->color=BLACK;//置x.p和w.right为黑色+旋转使其去掉x的额外黑色。
w->right->color=BLACK;
LEFT_ROTATE(x->parent);
x=root;//x成为根结点，结束循环。
}
}
else//以下和上面的if分支类似，不做累述。
{
w=x->parent->left;
if (w->color==RED)
{
w->color=BLACK;
x->parent->color=RED;
RIGHT_ROTATE(x->parent);
w=x->parent->left;
}
if (w->left->color==BLACK&&w->right->color==BLACK)
{
w->color=RED;
x=x->parent;
}
else
{
if (w->left->color==BLACK)
{
w->right->color=BLACK;
w->color=RED;
LEFT_ROTATE(w);
w=x->parent->left;
}
w->color=x->parent->color;
x->parent->color=BLACK;
w->left->color=BLACK;
RIGHT_ROTATE(x->parent);
x=root;
}
}
}x->color=BLACK;
}
void RB_DELETE(struct OS_Tree*z)
{
struct OS_Tree*y=z,*x;//y为待删除或待移动结点
int y_original_color=y->color;//保存y的原始颜色，为做最后的调整做准备。
struct OS_Tree*t=z->parent;
if (z->left==nil)
{
while (t!=nil)
{
t->size--;
t=t->parent;
}
x=z->right;//x指向y的唯一子结点或者是叶子结点，保存x的踪迹使其移动到y的原始位置上
RB_TRANSPLANT(z,z->right);//把以z.right为根的子树替换以z为根的子树。
}
else if (z->right==nil)
{
while (t!=nil)
{
t->size--;
t=t->parent;
}
x=z->left;//x指向y的唯一子结点或者是叶子结点，保存x的踪迹使其移动到y的原始位置上
RB_TRANSPLANT(z,z->left);//把以z.left为根的子树替换以z为根的子树。
}
else
{
y=TREE_MINIMUM(z->right);//找到z.right的后继。
struct OS_Tree*t=y->parent;
y->size=z->size-1;//y替换z原来的位置，所以size属性在待删除结点z基础上-1
while (t!=nil)
{
t->size--;
t=t->parent;
}
y_original_color=y->color;//y的新的原始结点被重置。
x=y->right;//x指向y的唯一子结点或者是叶子结点，保存x的踪迹使其移动到y的原始位置上
if (y->parent==z)
{
x->parent=y;//由于z的父结点是要删除的结点，所以不能指向它，于是指向y
}
else
{
RB_TRANSPLANT(y,y->right);//把以y.right为根的子树替换以y为根的子树。
y->right=z->right;
y->right->parent=y;
}
RB_TRANSPLANT(z,y);//把以y为根的子树替换以z为根的子树。
y->left=z->left;
y->left->parent=y;
y->color=z->color;//把已经删除的结点颜色赋值给y，保证了y以上的树结构红黑性质不变。
}
if(y_original_color==BLACK) //y的原始颜色为黑色，说明需要调整红黑颜色。
RB_DELETE_FIXUP(x);
}
//中序遍历
void InOderTraverse(struct OS_Tree *p)
{
if (p!=nil)
{
InOderTraverse(p->left);
cout<<p->key<<" "<<p->color<<" "<<"秩："<<p->size<<endl;
InOderTraverse(p->right);
}
}
struct OS_Tree*OS_SELECT(struct OS_Tree*&x,int i)//查找顺序统计树给定秩的元素
{
int r=x->left->size+1;
if (i==r)
{
return x;
}
else if (i<r)
{
return OS_SELECT(x->left,i);
}
else return OS_SELECT(x->right,i-r);
}
int ITERATIVE_OS_RANK(struct OS_Tree*&T,struct OS_Tree*x)//确定顺序统计树的秩
{
int r=x->left->size+1;
struct OS_Tree*y=x;
while (y!=root)
{
if (y==y->parent->right)
{
r=r+y->parent->left->size+1;
}
y=y->parent;
}
return r;
}
void n_m_Josephus(struct OS_Tree*x,int m,int n)
{
x=root;
int j=0,i=n,t=1;
while(root!=nil)
{
j=(t+m-1)%i;
if(j==0) j=i;
struct OS_Tree*y1=OS_SELECT(root,j);//y1表示待输出待删除结点
cout<<y1->key<<" ";//输出结点
RB_DELETE(y1);//输出后删除掉
t=j;
i--;
}
}
void main()
{
srand( (unsigned)time( NULL ) );
int m=0,n=0;
cout<<"下面请您输入n_m_Josephus排列的m和n值"<<endl;
cout<<"m=";
cin>>m;
cout<<"n=";
cin>>n;
int *array1=new int[n];
for (int j=0;j<n;j++)
{
array1[j]=j+1;
cout<<array1[j]<<" ";
}
cout<<endl;
nil=new struct OS_Tree[LEN];
nil->key=Nil;nil->color=BLACK;
root=nil;
int i=0;
struct OS_Tree*ROOT=new struct OS_Tree[LEN];
ROOT->key=array1[i++];
RB_INSERT(ROOT);
root=ROOT;
while (i!=n)
{
struct OS_Tree*z=new struct OS_Tree[LEN];
z->key=array1[i];
RB_INSERT(z);
i++;
}
InOderTraverse(root);
cout<<"约瑟夫排列：";
n_m_Josephus(root,m,n);
}总结：约瑟夫排列a部分用到了第10章知识，而b部分用到了本章知识。这是对学过的知识的简单应用。感觉这个程序还是比较有趣的。
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