题目：多项式方法在调和分析问题中的应用
报告人：张瑞祥
时间：2014年7月30日
地点：理科一号楼1309

最近在调和分析中的Kakeya问题和限制性问题上，所谓“多项式方法”有了非常重要的发展并且得出了一系列重要结果。我们将讲述这些结果，并试图解释在这些问题中引进辅助多项式的作用和威力。

讲座1 (10:00-11:30) Kakeya类型问题的离散模型

摘要：Kakeya问题历史久远，而且非常困难。Bourgain, Wolff等人用一些几何的方法对它进行了研究，促成了一系列相关的离散几何问题的提出。自从Dvir证明了有限域上的Kakeya猜想，他用过的被称为“多项式方法”的新方法开始为大家所重视。本次我们讲述这些或多或少为了模拟Kakeya猜想的离散问题，以及多项式方法给出的证明，包括：Dvir对有限域上Kakeya猜想的证明，Guth-Katz对“关节数”(joint)猜想和Bourgain的一个猜想的证明，以及最近一些关于R^n中Kakeya猜想和Furstenberg问题的离散模型的工作。

讲座2 (14:00-15:00) Kakeya问题：从离散到连续

摘要：离散模型对Kakeya问题的帮助是有限的。当我们把点换成小球时，由于失去了精确的点线关系，我们会丢失许多代数结构。但是，我们仍然可以结合多项式方法和一些分析、几何的技巧，获得一些很有趣、有用的结论。本次我们讨论Guth对于多线性Kakeya猜想的证明，Guth证明的三维Kakeya集合的局部“平面性”和“纹理性”。如果有时间我们还会介绍最近一些利用多个“横截的”多项式来处理一些更复杂的多线性问题的想法。

讲座3 (15:15-16:45) 多项式方法和限制性猜想

摘要：至今为止，多项式方法仍未在Kakeya猜想上给出更好的指标。但是一些应用，如多线性Kakeya猜想，已经在分析上更重要的限制性猜想上引出了进展(Bourgain-Guth)。最近，Guth更是在限制性猜想中，首次直接使用多项式方法在三维做出了进展。本次我们将重点讨论这个结果，以及多项式方法在其中的作用。

报告人简介：
张瑞祥，2012年毕业于北京大学数学学院，现为普林斯顿大学博士生，主要从事解析数论、调和分析等相关领域的研究。他对于调和分析中十分困难的Kakeya问题进行相关的研究，已获得了若干有趣的结果。‍