Description

Input

Output

For each test case output on a single line the number of unique bracelets. The figure below shows the 8 different bracelets that can be made with 2 colors and 5 beads.

Sample Input

1 1
2 1
2 2
5 1
2 5
2 6
6 2
0 0

Sample Output

1
2
3
5
8
13
21

Source

第一道Polya计数题，感觉还是不太懂。。群那一块太抽象了。。

本题是给定颜色种数c和环上的珠子数n,问有多少种染色方案（通过旋转和翻转相同算同一种）最后的结果不会int类型数据表示的范围。

要考虑两种情况：

1.旋转。

将环顺时针旋转i格后，循环节个数为gcd(n,i)， 染色方案为  ∑c^gcd(n,i)    其中 i=1,2,3,4,....n

2.翻转。

这里也得考虑两种情况。

       当n为奇数时，共有n个循环节个数为（n/2+1)的循环群，还有的资料上说是环的个数为（n/2+1) ，注意这是计算机上的表示，n/2整型相除计算机得到的是整数，其实应该写成（n+1)/2。，染色方案为  n*c^(n/2+1)

为什么n个循环节个数为（n/2+1)的循环群呢？我的理解是这样的，或许不太对。。。

       拿正三角形为例，给它三个顶点染色， 对称轴是一个顶点与其对边终点连线所在的直线，这样的直线有3（n=3，即n个顶点) 条，共有3（n)个循环群。假设第一个顶点在对称轴上，那么第二个顶点经过对称轴翻转肯定和第三个顶点重合，那么 （2,3）是一个循环节，（1）自己是一个循环节，循环节个数为2，即（n+1/2)。

       当n为偶数时，共有n个循环群，其中有n/2个的循环节个数为（n/2 +1)， 有n/2个的循环节个数为（n/2)。

拿正方形为例，四个顶点从左上角顺时针编号1,2,3,4.  

当以1,3顶点连线所在直线为对称轴时（对角的两个顶点）,这样对称轴有2个（n/2)，经过翻转，2,4 重合，1和1重合，3和3重合，那么循环节的个数为3（2,4） （1）（3）, 即(n/2+1)。 染色方案为  (n/2)*c^(n/2+1)

当以两条相对平行的边的中点连线所在直线为对称轴时，比如以线段1,2的中点和3,4的中点连线的所在直线为对称轴，这样的对称轴有两个（n/2)，经过翻转，1,2重合，3,4重合，循环节的个数为2，（1,2）（3,4），即（n/2)。，也就是谁和谁重合，谁就和谁在一个循环节里。染色方案为(n/2)*c^(n/2)

代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
int c,n;//c种颜色，n个珠子
int ans;

int gcd(int a,int b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

int power(int p,int n)
{
    int ans=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            ans*=p;
        p*=p;
        n/=2;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    while(cin>>c>>n&&(c||n))
    {
        ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            ans+=power(c,gcd(n,i));
        if(n&1)//是奇数，有n个包含(n/2+1)个循环节的循环群
            ans+=n*power(c,n/2+1);
        else
            ans+=(power(c,n/2+1)+power(c,n/2))*(n/2);
        ans/=2*n;//别忘了处以置换群的总个数
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}