合作对策模型：

　　从事某项活动的各方如能通力合作，常常可以获得更大的总利益或者造成更小的总损失。那么我们该如何分配总利益或者分摊损失呢？这一问题如果处理不当，合作显然是无法实现的。

举个例子：

A,B,C三人合作经商。单干每人可收入100元；A,B二人合作可收入700元；A,C合作可收入500元；B，C合作可收入400元；A，B，C三人合作可收入1000元。问A,B,C三人合作时如何分配1000元的收入。

因为每个人在合作中的价值不同，所以他们从总收入分得的收入也就有所差别，那么如何合理的分配效益值以达到公平呢？

公平的收益分配

1.对称性：一个分配方案应与成员的编号无关。

2.有效性：对于每次合作中均无贡献者，不应从合作利益中得到好处。

3.合理性：合作收益全部分光。

4.可加性：n个人同时进行两项合作时，每人分配的所得应是两项分配所得之和。

N人合作对策模型

设有一个n人的集合I={1,2,.....,n},其元素是某一合作的可能参加者。

（1）对于每一子集S I对应地可以确定一个实数V（S），此数的实际意义为如果S中的人参加此项合作，则此合作的总获利数为V（S），十分明显，V（S）是定义于I的一切子集上的一个集合函数。根据本问题的实际背景，还应要求V（S）满足以下性质：

    （没有人参加合作则合作获利不能实现）

对一切满足的S1、S2成立

具有这种性质的集合函数V（S）称为I的特征函数。

（2）定义合作结果V（S）的分配为，其中表示第i人在这种合作下分配到的获利。显然，不同的合作应有不同的分配，问题归结为找出一个合理的分配原则来，被称为合作对策

模型和收益分配的 Shapley 值

假设：

（1）N 人从事某项活动.

（2）其中若干人的每一种合作(包括单人)都有收益.

（3）合作是非对抗性的(平均收益不会随合作人数的增加而降低).

建模：

成员: I = {1, 2, …, n},   

合作: I 的子集 S ,

收益: 定义在子集类 {S} 上的函数 v(S),满足v(?) = 0,  对于S1∩S2 = ?, 有

v(S1∪S2 ) ≥ v(S1)+v(S2)

我们称 v(S) 为 I 上的特征函数.

   分配: X={x1, …, xn},  满足

shapley公式：

|S|: S中元素的个数

[v(S)-v( S \ i )]:  在合作组 S 中成员{ i }的作用 .

φi(v) 是成员{i} 在各种合作组中所做的贡献的加权平均,  权量为 w(|S|) .

   令 Θ表示全体成员 I 的一个排序, Si 为Θ 的一个子集, 表示Θ 中以成员 {i} 为排尾的前面一部分成员的集合.

    (n-|Si|)!(|Si|-1)! 则表示Θ 中令{i}排在第 |Si| 位, Si –{i} 排在前面, 然后{i}, 然后其它成员的不同的排列数.

n! 表示全体成员 I 全部的排列数，因此,  w(|S|) 表示在的所有排列 Θ 中选定Si后成员{i}排于第 |Si| 位的概率 .

Shapley提出了以下公理：

设V是I上的特征函数，是合作对策，则有

公理一：合作获利对每人的分配与此人的标号无关。

公理二：

公理三：若对所有包含的i的子集S有：V(S-{i})=V(S)， =0。

公理四：若此n个人同时进行两项互不影响的合作，则两项合作的分配也应互不影响，每人的分配额即两项合作单独进行时应分配数的和。

我们拿之前的那个列子来说：

v( i )=100, i=A,B,C; v(A,B)=700, v(A,C)=500,  v(B,C)=400;  v(A,B,C)=1000 .   

求 φ1(v), φ2(v), φ3(v) .

　　　　　　S1　　　　(A)　　　　(A,B)　　　　(A,C)　　　　(A,B,C)

　　　　　v(S)　　　　100　　　　700　　 　　500　　   　　1000

　　 v(S\{1})　　　　　0　　  　　100　　　　100　　　 　　400

v(S)-v(S\{1}) 　　　　100     　　600      　　400　　  　　 600

       　　|S|    　　　　1          　　2　　    　　2            　　3       

      　　w(S)　　　　   1/3        　1/6      　　1/6          　　1/3

w[v(S)-v(S\{1})]  　　100/3   　　100    　　200/3     　　200

       φ1(v)=400, φ2(v)=350, φ3(v)=250

以上是A应获得的利益，好，我们来具体说明一下S1 是指合作模式，（A）是指A一个人单干(A,B)是指AB合作，以此类推；v(S)是指在S的合作模式下所获得的利益，比如A单干获得的利益是100，所以（A）下V（S）就是100，以此类推；v(S\{1}) 指的是如果A不参加合作那么团队可以获得多少利益，例如（A,B）如果A没参加合作那么就等于只有B单干所以只能获得100的利益，以此类推；|S|就是合作模式|S|=1就是A单干，|S|=2就是两个人合作，以此类推；，其中n是整个的总人数，总人数有三个A,B,C，所以n=3,通过式子就可以算出每个人应得利益，计算B,C同理。

合作对策模型