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博弈初级小结

2024-07-14 04:40:30   222人阅读

一、巴什博奕！！！！

巴什博奕（Bash Game）：只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。
显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。
这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100者胜。
对于巴什博奕，那么我们规定，如果最后取光者输，那么又会如何呢？
（n-1）%（m+1）==0则后手胜利
先手会重新决定策略，所以不是简单的相反行的
例如n=15，m=3
后手 先手 剩余
0 2 13
1 3 9
2 2 5
3 1 1
1 0 0
先手胜利 输的人最后必定只抓走一个，如果>1个，则必定会留一个给对手。
经典初级题：HDU 1846   解题  我待水似流年，流年待我似水   HDU  2149  解题  我待水似流年，流年待我似水

二、威佐夫博奕！！！！
威佐夫博弈（Wythoff Game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。
可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k
公式：x>y，如果y=（取整）（x-y）*（(1+根号5)/2）时，先下就输了！！！
经典初级题：HDU 1527 解题  我待水似流年，流年待我似水   HDU 2177 解题  我待水似流年，流年待我似水
三、尼姆博弈！！！！
尼姆博弈：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用（a，b，c）表示某种局势，首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情形。

可以推广到m堆！！！！！
初级经典题：HDU  2176  我待水似流年，流年待我似水

四、SG函数！！！！！
SG函数，可以说是ICG游戏的钥匙！！
很难理解，百度吧！！！！下面送上模板！！！
void getsg(int n,int m,int *f)//n为石子范围，m为f数组的最大下标，*f为可取石子的值
{
    int i,j;
    memset(sg,0,sizeof sg);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        memset(next,0,sizeof next);
        for(j=0;j<m;j++)
        {
            if(i<f[j])
                break;
            next[sg[i-f[j]]]=1;
        }
        for(j=0;j<=1000;j++)
        {
            if(!next[j])
            {sg[i]=j;break;}
        }
    }
}

初级经典题：HDU  1848   我待水似流年，流年待我似水


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