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HDOJ 4906 Our happy ending 状压DP(数位DP?)

2024-07-15 07:28:06   228人阅读

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4906

题意：

N个数的序列，每个数可以选择填0-L，如果一个序列可以选出某些数，他们的和为K，那么这个序列就是”好序列“，给定N<=20，K<=20，0<=L<=10^9，问好序列的个数。

 

分析：

N和K很小，所以要想办法利用这个特性（状压？搜索？）。虽然L很大，但实际上一个数大于K的时候，肯定是不能选他组成K的。我们就先考虑L<=K的做法。

然后还是考虑不出来。。

好吧，看题解吧。。

目前能搜到的题解都写得比较简单，我稍微详细一些？

dp[i][j]，j用二进制来表示，第k位为1，说明已有的序列能选出几个数使得和为k，dp[i][j]就表示前i个数的序列能表示j的方案数。

初始dp[0][0]=1，answer是 Σdp[n][j]，其中j的第K位为1。

转移的话，逆推有点难想，还是顺推吧，第i+1个数，从0到L，我们分成0,1--K，K+1--L来考虑：

如果第i+1位选择0，那么dp[i][j]可以转移给dp[i+1][j]，因为多了个0，能表示的和(j)还是一样。

如果第i+1位选择K+1到L中的数，那么dp[i][j]可以转移给dp[i+1][j]，原因同上。

如果第i+1位选择1到K中的数，假设是x，那么dp[i][j]可以转移给dp[i+1][to]，to = j|1<<(x-1)|(j<<x)&((1<<K)-1)

（重点）to中的j表示，我们不选择当前这个x能表示的和，1<<(x-1)表示只选择当前这个x能表示的和，最后一项是在之前已经能表示的和上再加上一个x，这些新的和我们都能表示了，同时为了不让他超过最大值，所以再和最大值按位与。

然后像背包一样倒序枚举，就可以省略掉i这一维。

 

代码：

 1 #include<cstdio>  2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5  6 const int mod = (int)1e9+7; 7 int T, N, K, L, MAX, extra; 8 long long dp[(1<<20)+10]; 9 int main()10 {11     scanf("%d", &T);12     while(T--)13     {14         scanf("%d%d%d", &N, &K, &L);15         memset(dp, 0, sizeof(dp));16         if (L > K){17             extra = L - K;18             L = K;19         }20         else extra = 0;21         dp[0] = 1;22         MAX = (1 << K) - 1;23         for (int i = 1; i <= N; i++)24             for (int j = MAX; j >= 0; j--){25                 if (dp[j] == 0) continue;26                 long long tmp = dp[j];27                 for (int k = 1; k <= L; k++){28                     int to = j | 1<<(k-1) | ((j<<k)&MAX);29                     dp[to] += tmp;30                     if (dp[to] >= mod) dp[to] -= mod;31                 }32                 //if (dp[j] != tmp) printf("%d %lld %lld\n", j, dp[j], tmp);33                 dp[j] = (dp[j] + tmp * extra) % mod;34             }35         long long ans = 0;36         for (int i = 1 << (K-1); i <= MAX; i++){37             ans += dp[i];38             if (ans >= mod) ans -= mod;39         }40         printf("%I64d\n", ans);41     }42     return 0;43 }

 


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