应用：

①

②

③

公式：

自适应滤波器中最重要的一个环节就是其系数的更新算法，如果不对自适应滤波器的系数更新的话，那么它就只是一个普通的FIR滤波器了。系数更新算法有很多种类，最基本、常用、简单的一种方法叫做NLMS(归一化最小均方)，让我们先来看看它的数学公式表达：

设置自适应滤波器系数h的所有初始值为0,h的长度为I。

对每个取样值进行如下计算，其中n=0, 1, 2, ...

自适应滤波器系数 是一个长度为I的矢量，也就是一个长度为I的FIR滤波器。在时刻n，滤波器的每个系数对应的输入信号为 ，它也是一个长度为I的矢量。这两个矢量的点乘即为滤波器的输出和目标信号d(n)之间的差为e(n)，然后根据e(n)和 ， 更新滤波器的系数。

数学公式总是令人难以理解的，下面我们以图示为例进行说明：

图中假设自适应滤波器h的长度为4，在时刻7滤波器的输出为:

u[7] = h[0]*x[7] + h[1]*x[6] + h[2]*x[5] + h[3]*x[4]

滤波器的输入信号的平方和powerX为:

powerX = x[4]*x[4] + x[5]*x[5] + x[6]*x[6] + x[7]*x[7]

未知系统的输出d[7]和滤波器的输出u[7]之间的差为:

e[7] = d[7] - u[7]

使用u[7]和x[4]..x[7]对滤波器的系数更新:

h[4] = h[4] + u * e[7]*x[4]/powerX

h[4] = h[5] + u * e[7]*x[5]/powerX

h[4] = h[6] + u * e[7]*x[6]/powerX

h[4] = h[7] + u * e[7]*x[7]/powerX

其中参数u成为更新系数，为0到1之间的一个实数，此值越大系数更新的速度越快。对于每个时刻i都需要进行上述的计算，因此滤波器的系数对于每个参照信号x的取样都更新一次。

参考：摘抄自《用Python做科学计算》http://sebug.net/paper/books/scipydoc/fast_nlms_in_python.html