作者：桂。

时间：2017-04-02  10:36:09

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 【读书笔记09】

前言

　　西蒙.赫金的《自适应滤波器原理》第四版第八章：最小二乘法。因为最小二乘涉及到矩阵求逆，因为通常对于秩缺矩阵其逆是不可求的，这就需要借助广义逆矩阵。而广义逆矩阵可以借助奇异值分解（SVD，Singularly Valuable Decomposition）进行求解。

　　有了这个思路，在学习各类最小二乘方法之前，对广义矩阵求逆、SVD分解进行梳理是有必要的，本文主要梳理矩阵求逆。

一、满秩情况

　　A-方阵

对于$n$x$n$的非奇异矩阵$\bf{A}$，对应的逆矩阵为：${{\bf{A}}^{ - 1}}$.

　　B-长方形阵

此时对应逆矩阵分为：左逆矩阵以及右逆矩阵。

对于矩阵A（n×m）:

• 如果A是满列秩（n>=m）对于符合LA=I的矩阵解为：${\bf{L}} = {\left( {{{\bf{A}}^H}{\bf{A}}} \right)^{ - 1}}{{\bf{A}}^H}$;
• 如果A是满行秩（n<=m）对于符合AR=I的矩阵解为：${\bf{R}} = {{\bf{A}}^H}{\left( {{{\bf{A}}}{\bf{A}^H}} \right)^{ - 1}}$.

可以看出，当$m=n$时，${\bf{R}}={\bf{L}}={{\bf{A}}^{ - 1}}$.

二、秩亏缺情况

 满秩情况中，通过矩阵左/右乘，可以实现满秩方阵，进而求逆得解，对于秩亏缺的情况，上面的求逆思路不再适用，这就需要一种更广义的定义逆矩阵的方式，也就是需要同时左、右乘以矩阵变换，才能得到满秩的特性，广义逆矩阵对满秩情况仍然有效。给出Moore-Penrose逆矩阵定义：

令$\bf{A}$是任意$m$x$n$矩阵，如果${{\bf{A}}^+ }$满足以下四个条件，称矩阵${{\bf{A}}^+ }$是$\bf{A}$的广义逆矩阵：

　　1）${\bf{A}}{{\bf{A}}^+ }{\bf{A}} = {\bf{A}}$;

　　2）${{\bf{A}}^+ }{\bf{A}}{{\bf{A}}^+ } = {{\bf{A}}^+ }$;

　　3）${\bf{A}}{{\bf{A}}^+ } = {\left( {{\bf{A}}{{\bf{A}}^+ }} \right)^H}$;

　　4）${{\bf{A}}^+ }{\bf{A}} = {\left( {{{\bf{A}}^+ }{\bf{A}}} \right)^H}$;

具体的原理推导可以参考：张贤达《矩阵分析与应用》p61~64.

容易看出：$\bf{A}$的满秩情况，广义逆矩阵仍然使用。Moore-Penrose逆矩阵是广义逆矩阵的一种形式。

三、求解Moore-Penrose逆矩阵

求解有多种思路，这里只分析基于SVD分解的方法。首先给出求解步骤：

背景知识：

对于存在正交矩阵$\bf{U}$、$\bf{V}$，使得：

${\bf{A}}{\rm{ = }}{\bf{U\Sigma }}{{\bf{V}}^H}$

式中：

且$r = rank({\bf{A}})$.

求解步骤：

利用SVD进行广义逆矩阵求解：

${{\bf{A}}^ + } = {\bf{V}}{{\bf{\Sigma }}^ + }{{\bf{U}}^H}$

其中：

事实上，对于秩为$r$，$\bf{A}$分解可简写为：

${\bf{A}} = {{\bf{U}}_r}{{\bf{\Sigma }}_1}{{\bf{V}}_r}^H$

从而SVD可以简化为：

${{\bf{A}}^ + } = {{\bf{V}}_r}{\bf{\Lambda }}_{_{\rm{1}}}^{ - 1}{\bf{V}}_{_r}^H{{\bf{A}}^H}$

其中${{\bf{\Lambda }}_1} = diag\left( {\sigma _{_1}^2,\sigma _{_2}^2,...,\sigma _{_r}^2} \right)$.

因为暂时不讨论SVD，此处先直接调用，给出对应代码：

a = [ 1     7     5     1     6     4     2     7     8    10     5     4];[U,S,V] = svd(a);K = min(size(a));S_plus = [diag(1./diag(S))].^2;a_mp = 0;for i = 1:K    a_mp = a_mp+V(:,i)*S_plus(i,i)*V(:,i)‘*a‘;end

求解的a_mp为广义逆矩阵，其结果与`pinv`指令的作用等价。

理论证明：

表达式简写：

首先分析Moore-Penrose条件1：

Moore-Penrose条件2与条件1证明类似；

再分析Moore-Penrose条件3：

即${\bf{A}}{{\bf{A}}^+ } = {\left( {{\bf{A}}{{\bf{A}}^+ }} \right)^H}$;条件4同理。

既然广义矩阵求逆可以借助SVD分解，需要看看SVD如何分解，后面打算对SVD进行梳理。

参考：

•  张贤达：《矩阵分析与应用》.

自适应滤波：矩阵求逆