首页 > 代码库 > 算法笔记_003:矩阵相乘问题【分治法】
算法笔记_003:矩阵相乘问题【分治法】
目录
1 问题描述
1.1实验题目
1.2实验目的
1.3实验要求
2 解决方案
2.1 分治法原理简述
2.2 分治法求解矩阵相乘原理
2.3 具体实现源码
2.4 运算结果截图
1 问题描述
1.1实验题目
设M1和M2是两个n×n的矩阵，设计算法计算M1×M2 的乘积。
1.2实验目的
（1）提高应用蛮力法设计算法的技能；
（2）深刻理解并掌握分治法的设计思想；
（3）理解这样一个观点：用蛮力法设计的算法，一般来说，经过适度的努力后，都可以对其进行改进，以提高算法的效率。
1.3实验要求
（1）设计并实现用BF(Brute-Force，即蛮力法)方法求解矩阵相乘问题的算法；
（2）设计并实现用DAC（Divide-And-Conquer，即分治法）方法求解矩阵相乘问题的算法；
（3）以上两种算法的输入既可以手动输入，也可以自动生成；
（4）对上述两个算法进行时间复杂性分析，并设计实验程序验证分析结果；
（5）设计可供用户选择算法的交互式菜单(放在相应的主菜单下)。
2 解决方案
2.1 分治法原理简述
分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。
如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n ，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。
2.2 分治法求解矩阵相乘原理
首先了解一下传统计算矩阵相乘的原理：
其次，看一下优化后的矩阵相乘法原理：
最后，看一下本文利用分治法求解矩阵相乘的原理（ＰＳ：本文求解其效率不是最高，主要是体验一下分治法，重点在于分治法）：
注意：使用分治法求解两个nxn阶矩阵相乘，其中n值为2的幂值，否则只能使用蛮力法计算。
本文具体源码主要根据以上分块矩阵方法，先分块（即使用分治法），然后递归求解。
2.3 具体实现源码
package com.liuzhen.dac; public class Matrix { //初始化一个随机nxn阶矩阵 public static int[][] initializationMatrix(int n){ int[][] result = new int[n][n]; for(int i = 0;i < n;i++){ for(int j = 0;j < n;j++){ result[i][j] = (int)(Math.random()*10); //采用随机函数随机生成1~10之间的数 } } return result; } //蛮力法求解两个nxn和nxn阶矩阵相乘 public static int[][] BruteForce(int[][] p,int[][] q,int n){ int[][] result = new int[n][n]; for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<n;j++){ result[i][j] = 0; for(int k=0;k<n;k++){ result[i][j] += p[i][k]*q[k][j]; } } } return result; } //分治法求解两个nxn和nxn阶矩阵相乘 public static int[][] DivideAndConquer(int[][] p,int[][] q,int n){ int[][] result = new int[n][n]; //当n为2时，返回矩阵相乘结果 if(n == 2){ result = BruteForce(p,q,n); return result; } //当n大于3时，采用采用分治法，递归求最终结果 if(n > 2){ int m = n/2; int[][] p1 = QuarterMatrix(p,n,1); int[][] p2 = QuarterMatrix(p,n,2); int[][] p3 = QuarterMatrix(p,n,3); int[][] p4 = QuarterMatrix(p,n,4); // System.out.println(); // System.out.print("矩阵p1值为："); // PrintfMatrix(p1,m); // System.out.println(); // System.out.print("矩阵p2值为："); // PrintfMatrix(p2,m); // System.out.println(); // System.out.print("矩阵p3值为："); // PrintfMatrix(p3,m); // System.out.println(); // System.out.print("矩阵p4值为："); // PrintfMatrix(p4,m); int[][] q1 = QuarterMatrix(q,n,1); int[][] q2 = QuarterMatrix(q,n,2); int[][] q3 = QuarterMatrix(q,n,3); int[][] q4 = QuarterMatrix(q,n,4); int[][] result1 = QuarterMatrix(result,n,1); int[][] result2 = QuarterMatrix(result,n,2); int[][] result3 = QuarterMatrix(result,n,3); int[][] result4 = QuarterMatrix(result,n,4); result1 = AddMatrix(DivideAndConquer(p1,q1,m),DivideAndConquer(p2,q3,m),m); result2 = AddMatrix(DivideAndConquer(p1,q2,m),DivideAndConquer(p2,q4,m),m); result3 = AddMatrix(DivideAndConquer(p3,q1,m),DivideAndConquer(p4,q3,m),m); result4 = AddMatrix(DivideAndConquer(p3,q2,m),DivideAndConquer(p4,q4,m),m); result = TogetherMatrix(result1,result2,result3,result4,m); } return result; } //获取矩阵的四分之一，并决定返回哪一个四分之一 public static int[][] QuarterMatrix(int[][] p,int n,int number){ int rows = n/2; //行数减半 int cols = n/2; //列数减半 int[][] result = new int[rows][cols]; switch(number){ case 1 : { // result = new int[rows][cols]; for(int i=0;i<rows;i++){ for(int j=0;j<cols;j++){ result[i][j] = p[i][j]; } } break; } case 2 : { // result = new int[rows][n-cols]; for(int i=0;i<rows;i++){ for(int j=0;j<n-cols;j++){ result[i][j] = p[i][j+cols]; } } break; } case 3 : { // result = new int[n-rows][cols]; for(int i=0;i<n-rows;i++){ for(int j=0;j<cols;j++){ result[i][j] = p[i+rows][j]; } } break; } case 4 : { // result = new int[n-rows][n-cols]; for(int i=0;i<n-rows;i++){ for(int j=0;j<n-cols;j++){ result[i][j] = p[i+rows][j+cols]; } } break; } default: break; } return result; } //把均分为四分之一的矩阵，聚合成一个矩阵，其中矩阵a,b,c,d分别对应原完整矩阵的四分中1、2、3、4 public static int[][] TogetherMatrix(int[][] a,int[][] b,int[][] c,int[][] d,int n){ int[][] result = new int[2*n][2*n]; for(int i=0;i<2*n;i++){ for(int j=0;j<2*n;j++){ if(i<n){ if(j<n){ result[i][j] = a[i][j]; } else result[i][j] = b[i][j-n]; } else{ if(j<n){ result[i][j] = c[i-n][j]; } else{ result[i][j] = d[i-n][j-n]; } } } } return result; } //求两个矩阵相加结果 public static int[][] AddMatrix(int[][] p,int[][] q,int n){ int[][] result = new int[n][n]; for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<n;j++){ result[i][j] = p[i][j]+q[i][j]; } } return result; } //控制台输出矩阵 public static void PrintfMatrix(int[][] matrix,int n){ for(int i=0;i<n;i++){ System.out.println(); for(int j=0;j<n;j++){ System.out.print("\t"); System.out.print(matrix[i][j]); } } } public static void main(String args[]){ int[][] p = initializationMatrix(8); int[][] q = initializationMatrix(8); System.out.print("矩阵p初始化值为："); PrintfMatrix(p,8); System.out.println(); System.out.print("矩阵q初始化值为："); PrintfMatrix(q,8); int[][] bf_result = BruteForce(p,q,8); System.out.println(); System.out.print("蛮力法计算矩阵p*q结果为："); PrintfMatrix(bf_result,8); int[][] dac_result = DivideAndConquer(p,q,8); System.out.println(); System.out.print("分治法计算矩阵p*q结果为："); PrintfMatrix(dac_result,8); } }
2.4 运算结果截图
参考资料：
1、009-矩阵乘法-分治法-《算法设计技巧与分析》M.H.A学习笔记
2、 Strassen矩阵乘法(分治法续)
算法笔记_003:矩阵相乘问题【分治法】