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BSGS算法_Baby steps giant steps算法(无扩展)最强详解,你从未见过的详细

Baby Steps-Varsity

Giant Step-Astronauts(May‘n?椎名慶治)

阅读时可以听听这两首歌,加深对这个算法的理解。(Baby steps少女时代翻唱过,这个原唱反而不是很有名……Giant Step就比较碉,是一个假面骑士片的插曲,由超碉的May‘n和一个人建立的临时组合唱的,怕不怕)

 

这个主要是用来解决这个题:

A^x=B(mod C)(C是质数),都是整数,已知A、B、C求x。

我在网上看了好多介绍,觉得他们写得都不够碉,我看不懂…于是我也来写一发。

先把x=i*m+j,其中m=ceil(sqrt(C)),(ceil是向上取整)。

这样原式就变为A^(i*m+j)=B(mod C),

再变为A^j=B*A^(-m*i) (mod C),

先循环j=0~(C-1),把(A^j,j)加入hash表中,这个就是Baby Steps(现在可以播放Baby Steps-Varsity了)。然后我们再枚举等号右边,从hash表中找看看有没有,有的话就得到了一组i j,返回x=i*m+j,得到解。(原理我还没懂……懂了我会贴上来)

所以,接下来要解决的就是枚举B*A^(-m*i) (mod C)这一步。A^(-m*i)相当于1/(A^(m*i)),里面有除法,在mod里不能直接用除法,这时候我们就要求逆元。

/*百度百科:

若ax≡1 mod f, 则称a关于模f的乘法逆元为x。也可表示为ax≡1(mod f)。
当a与f互素时,a关于模f的乘法逆元有唯一解。如果不互素,则无解。如果f为素数,则从1到f-1的任意数都与f互素,即在1到f-1之间都恰好有一个关于模f的乘法逆元。
*/
然后我们用超碉的exgcd求逆元,exgcd(扩展欧几里德算法)就是在求AB的最大公约数z的同时,求出整数x和y,使xA+yB=z。算法实现就是gcd加几个语句。
然后我们再来看一下exgcd怎么求逆元:

对xA+yB=z,

变成这样xA = z - yB,取B=C(C就是我们要mod的那个)

推导出 xA % C = z %C

只要  z%C==1 时,就可以求出A的逆元x

但用exgcd求完,x可能是负数,还需要这样一下:x=(x%C+C)%C

//--exgcd介绍完毕--

再看我们的题目,

exgcd(A^(m*i) , C)=z,当C是质数的时候z肯定为1,这样exgcd求得的x就是逆元了。

因为x就是A^(m*i)的逆元,P/(A^(m*i))=P*x,所以

B*A^(-m*i) = B/(A^(m*i)) = B*x(mod C)

这样我们的式子A^j=B*A^(-m*i) (mod C)的等号右边就有了,就是B*x,就问你怕不怕!

枚举i,求出右边在hash里找,找到了就返回,无敌!