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HDU 4923 Room and Moor

2024-07-16 12:08:25   221人阅读

题意：

　　给你一个A数列，让你求一个单调递增的B数列(0<=bi<=1)，使得sum{(ai-bi)^2}最小。

思路：

　　很明显，如果A = 0...01...1，那么bi=ai即可。

　　可以证明，如果 A = 1...10...0，那么所有bi达到同一个值的时候取得最优值。 假设 ai = 1, aj = 0， 那么 i<j ，所以bi<=bj。 若bi != bj，那么增大bi的值，或者减小bj的值都可以得到更优的结果。 所以，bi=bj。

　　所以，如果A数列里面出现了形如 "1...10...0"的部分，我们都可以把它当做同一段处理。因为他们对应的bi值一定相同。

　　这样，我们可以得到一个中间序列，x1, ..., x1, x2, ..., x2, ..., xm, ...xm. 我们可以把它简化为，x1, ..., xm。其中 xi对应着每一段的最优值。

　　我们可以发现，这里的xi不一定单调递增。 然后我们仿照上面的证明，知道当有相邻两段的xi递减时，会在他们所有的bi相等时取得最优值。因此，我们可以把这两段合并，求出一个满足单调性的值。

　　所以，最后的B序列一定是这样：y1, ..., y1, ..., ym, ..., ym。所以我们可以用一个单调栈来维护所有的bi值。

 

代码：

　　

 1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <cstdlib> 5 #include <cmath> 6 #include <algorithm> 7 #include <string> 8 #include <queue> 9 #include <stack>10 #include <vector>11 #include <map>12 #include <set>13 #include <functional>14 #include <time.h>15 16 using namespace std;17 18 typedef pair<double, int> PDI;19 20 const int INF = 1<<30;21 const int MAXN = (int) 1e5+7;22 23 int n;24 int a[MAXN];25 double b[MAXN];26 27 PDI sk[MAXN]; //栈28 int tail; //栈顶指针29 30 void solve() {31     tail = 0; //栈初始化32 33     for (int i = 0; i < n; i++) {34         sk[tail++] = make_pair(1.0*a[i], 1); //当前点入栈35         while (tail>1 && sk[tail-1].first<=sk[tail-2].first) { //如果栈不满足单调性，合并最上面两个节点36             int cnt = sk[tail-1].second+sk[tail-2].second;37             double tmp = (sk[tail-1].first*sk[tail-1].second+sk[tail-2].first*sk[tail-2].second)/cnt;38             sk[tail-2] = make_pair(tmp, cnt);39             tail--;40         }41     }42     //求出bi43     for (int i = 0, j = 0; i < tail; i++)44         for (int k = 0; k < sk[i].second; k++)45             b[j++] = sk[i].first;46     //求出结果47     double ans = 0;48     for (int i = 0; i < n; i++)49         ans += (a[i]-b[i])*(a[i]-b[i]);50     printf("%f\n", ans);51 }52 53 int main() {54     #ifdef Phantom0155         freopen("HDU4923.txt", "r", stdin);56     #endif //Phantom0157 58     int T;59     scanf("%d", &T);60     while (T--) {61         scanf("%d", &n);62         for (int i = 0; i < n; i++)63             scanf("%d", &a[i]);64         solve();65     }66 67     return 0;68 }
HDU 4923

 


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