动态轮廓是图像分割的一个热点，从早期的snake，就有很多的优化版，测地线动态轮廓（GAC）就是其中之一。总体来说，其摒弃了snake对参数的依赖，并加入了水平集，使得轮廓曲线更贴近目标物的拓扑结构。

经典的动态轮廓模型（activecontour model）的能量公式为：

  （1）

其中，α，β，λ为正值常量。其中前两项控制曲线的平滑度，第三项吸引曲线向物体边界靠近。极小化该E(C)能量函数得到分割轮廓。VICENT(参考1)指出第二项有无对分割结果影响不大（即β=0）。而最大化第三项，也是最小化g(|▽I|)² 。

    则简化为：

     （2）

其中，

根据一系列的黎曼积分定理的推导（参见1和2），将（2）式转换为：

       （3）

为了求解上式，采用梯度下降法，详细推导参见1（附B），有

                   （4）

其中，上式加入水平集后的GAC为：

            水平集{μ：μ(t)=k}表示闭合的曲线C

   （5）

其中，c为常数， k是曲率, N是曲线的标准法向量

      且  N= -（▽μ/|▽μ|）

整体来说：

GAC模型借用了水平集，结合经典的active contour 模型，以图像的梯度为驱动力，在图像梯度最大处，达到收敛。其解决了传统的AC不能处理变形过程中拓扑的变化，如不能处理多物体检测，以及需要对参数的预设置等问题。但是，其在处理模糊图像，或者纹理图像时，效果还是不理想。

参考：

1. Geodesic Active Contours（VICENT）

1.     函数列的黎曼积分极限定理的应用

2.     Geodesic Active Contours （Waterloo）

3.     局部熵驱动的GAC模型在生物医学图像分割中的应用（对于驱动力的更换有思考）