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codeforces#244（div.2） C

2024-07-02 17:18:30   226人阅读

动漫节一游回来之后一直处于一种意识模糊的状态

看到大家都陆陆续续地过了C心里还是有点着急（自己没思路啊囧）

其实当时就在想该如何找到DFS中的一个环，然后再找到环路上最小的一个值

把所有环路上最小的值加起来就是结果，后来看到有人在群里说是tarjan求强连通分量，我就愉（bei）快（shang）地去睡觉了

第二天起来就学习了一下强连通分量的相关知识和tarjan，现在整理下思路

https://www.byvoid.com/blog/scc-tarjan 

tarjan的思路就是通过DFS找到一条环路，将以DFS访问的顺序的节点盖上时间戳，当该点u时间戳与该点（直接或间接）能够访问到的最早入栈的点相同时，即表示它就是一个强连通量的根节点。我们不妨直接找到树中的一个“叶子”（姑且这么叫吧，把这里的“叶子”定义为除了栈S中的节点不能到达其他任何节点的节点（好绕囧））节点v,那么它只有两种可能：

1.可以在未处理节点的栈S中找到一个V使得（v，V）∈E，因此可以由V出发到v构成一个环路

2.不可以在未处理节点的栈S中找到一个V使得（v，V）∈E，因此它自成一个强连通分量（因为它不能到达任何的节点）（上述称为判断1）

如果讨论清楚了“叶子”节点，它必然成为某一个强连通分量中的一个顶点；再讨论栈中v的上一个节点u（即（u，v）∈E，且u∈栈S）

1.若为上述情况1，则根据上述链接和大白书上的定理，u,v必在同一个强连通分量中

2.若为上述情况2，则可以通过DFS找到u的其他后继vi：

  （1）若vi不存在，则u可以通过上述情况2，u自成一个强连通分量

　（2）若vi存在，则继续用判断1判断有后继(祖先）在S中

至此，证明完毕。可以保证，在栈S中的节点必然是以u为根“最大”（不知道这样说准不准确）的强连通量（因为不满足的已经被标记上强连通序号且弹出栈了）。

上述描述即是以DFS序来进行描述的。

OK，回到这道题，如果找到了一个强连通分量，则可以统计出它的最小权值和最小权值点的个数

总的方案数就是所有强连通分量中的最小权值点个数的乘积

下面是C题的程序

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int SIZEN=100005;
const int SIZEM=300005;
const int INF=1e9;
const int MOD=1e9+7;
struct edge{
    int to,next;
};
edge e[SIZEM];
int cost[SIZEN],head[SIZEN];
int DFN[SIZEM],low[SIZEN],sscn[SIZEN];
LL sz,s_cost,num_cost,dfs_time,ssc_cnt;
void addedge(int u,int v){
    e[sz].to=v;
    e[sz].next=head[u];
    head[u]=sz++;
}
void init(){
    memset(DFN,0,sizeof(DFN));
    memset(low,0,sizeof(low));
    memset(sscn,0,sizeof(sscn));
    memset(head,-1,sizeof(head));
    sz=0;num_cost=1;s_cost=0;
    dfs_time=1;ssc_cnt=0;
}
stack<int> S;
void tarjan(int u){
    DFN[u]=low[u]=dfs_time++;
    S.push(u);
    for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next){
        int v=e[i].to;
        if(!DFN[v]){
            tarjan(v);
            low[u]=min(low[u],low[v]);//回溯过程，如果low[v]<low[u],则必然是因为v的某子孙和u的某祖先相连
        }
        else if(DFN[v]&&!sscn[v]){
            low[u]=min(low[u],DFN[v]);//即上述判断1的情况1（找到后继在S中）
        }
    }
    if(DFN[u]==low[u]){//找到一个强连通分量，找到分量中的最小值，和最小值的个数
        int x;
        int Min=INF,cnt=0;
        ssc_cnt++;
        for(;;){
            x=S.top();S.pop();
            sscn[x]=ssc_cnt;
            if(cost[x]<Min){
                Min=cost[x];
                cnt=1;
            }
            else if(cost[x]==Min) cnt++;
            if(x==u) break;
        }
        s_cost=s_cost+Min;num_cost=(LL)num_cost*cnt%MOD;
    }
}
int main()
{
    //freopen("data.in","r",stdin);
    int i,j;
    int n,m;
    int u,v;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        init();
        for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&cost[i]);
        scanf("%d",&m);
        while(m--){
            scanf("%d%d",&u,&v);
            addedge(u,v);
        }
        for(i=1;i<=n;i++)
            if(!DFN[i]) tarjan(i);
        printf("%I64d %I64d\n",s_cost,num_cost);
    }
    return 0;
}

 


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