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UVa 11825 (状压DP) Hackers' Crackdown

2024-07-17 10:33:42   220人阅读

这是我做状压DP的第一道题，状压里面都是用位运算来完成的，只要耐下心来弄明白每次位运算的含义，还是容易理解的。

题意：

有编号为0~n-1的n台服务器，每台都运行着n中服务，每台服务器还和若干台其他服务器相连。对于每台服务器，你可以选择停止该台以及与这台服务器相连的服务器的一项服务。如果一台服务器的所有服务都被停止，则这台服务器瘫痪。问最多能使多少台服务器瘫痪

 

转化为数学模型(题目是如何抽象成这种数学模型的也要好好想想)：

把n个集合尽可能多的分成若干组，使得每组所有集合的并集为全集。这里集合Pi表示服务器i以及与其相邻服务器的集合

 

算法：

数组P[i]表示服务器i以及与其相邻服务器的集合的二进制表示

枚举所有集合可能的组合情况，一共有2n种，计算其并集保存在cover中

f[S]表示子集S最多可以分成多少组

状态转移方程：

枚举S的子集S0

f[S] = max{f[S], f[S - S0] + 1 | 这里S0是S子集而且cover[S0]为全集}

 

这里再说一下枚举S0用代码实现的技巧：

在二进制中S0的1的个数肯定比S要少，所以从数值大小上来看S0 < S

我们先令S0 = S - 1

那么 S & (S0 - 1)就是S的子集了

因为上面的表达式满足两个条件：

  1. S0 < S
  2. S0的1的个数比S要少

 

S ^ S0的含义：

S ^ S0代表以S为全集S0的补集，为什么用异或运算实现呢？自己动手模拟一下就清楚了，嘿嘿

 

好了，写到这里，这道题就分析的很透彻了。看来位运算还是蛮有意思的

 

 1 //#define LOCAL 2 #include <iostream> 3 #include <cstdio> 4 #include <cstring> 5 #include <algorithm> 6 using namespace std; 7  8 const int maxn = (1 << 16) + 10; 9 int cover[maxn], p[20], f[maxn];10 11 int main(void)12 {13     #ifdef LOCAL14         freopen("11825in.txt", "r", stdin);15     #endif16 17     int n, kase = 0;18     while(scanf("%d", &n) == 1 && n)19     {20         memset(f, 0, sizeof(f));21         for(int i = 0; i < n; ++i)22         {23             int m, x;24             scanf("%d", &m);25             p[i] = (1 << i);26             while(m--)27             {28                 scanf("%d", &x);29                 p[i] |= (1 << x);30             }31         }32 33         for(int i = 0; i < (1 << n); ++i)34         {35             cover[i] = 0;36             for(int j = 0; j < n; ++j)37             {38                 if(i & (1 << j))39                     cover[i] |= p[j];40             }41         }42 43         f[0] = 0;44         int all = (1 << n) - 1;45         for(int s = 1; s < (1 << n); ++s)46         {47             f[s] = 0;48             for(int s0 = s; s0; s0 = (s0 - 1) & s)49                 if(cover[s0] == all)50                     f[s] = max(f[s], f[s0 ^ s] + 1);51         }52 53         printf("Case %d: %d\n", ++kase, f[all]);54     }55     return 0;56 }
代码君

 


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