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线段树总结一【转】
数据结构：线段树 【转】
http://blog.csdn.net/wypblog/article/details/8219727
一、线段树基本概念
线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。
对于线段树中的每一个非叶子节点[a,b]，它的左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1,b]。因此线段树是平衡二叉树，最后的子节点数目为N，即整个线段区间的长度。
使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN）。而未优化的空间复杂度为2N，因此有时需要离散化让空间压缩。
性质：父亲的区间是[a,b],(c=(a+b)/2)左儿子的区间是[a,c]，右儿子的区间是[c+1,b]，线段树需要的空间为数组大小的四倍
二、线段树的存储数据结构
由上面的图可以看出，存储一颗线段树和二叉树有点类似，需要左孩子和右孩子节点，另外，为了存储每条线段出现的次数，所以一般会加上计数的元素，其具体如下：
1 struct Node // 线段树2 {3 int left;4 int right;5 int counter;6 }segTree[4*BORDER]; 其中，;left代表左端点、right代表右端点，counter代表每条线段出现的次数，BORDE代表线段端点坐标不超过100。由上面的性质可以知道，我们需要4倍的空间来存储。
三、线段树支持的操作
一颗线段树至少支持以下四个操作：
- void construct(int index, int lef, int rig)，构建线段树 根节点开始构建区间[lef,rig]的线段树
- void insert(int index, int start, int end)，插入线段[start,end]到线段树, 同时计数区间次数
- int query(int index, int x)，查询点x的出现次数，从根节点开始到[x,x]叶子的这条路径中所有点计数相加方为x出现次数
- void delete_ (int c , int d, int index)，从线段树中删除线段[c,d]
具体操作如下：
1、线段树的创建
/* 构建线段树 根节点开始构建区间[lef,rig]的线段树*/
void construct(int index, int lef, int rig)
{
segTree[index].left = lef;
segTree[index].right = rig;
if(lef == rig) // 叶节点
{
segTree[index].counter = 0;
return;
}
int mid = (lef+rig) >> 1;
construct((index<<1)+1, lef, mid);
construct((index<<1)+2, mid+1, rig);
segTree[index].counter = 0;
}
1 /* 构建线段树 根节点开始构建区间[lef,rig]的线段树*/ 2 void construct(int index, int lef, int rig) 3 { 4 segTree[index].left = lef; 5 segTree[index].right = rig; 6 if(lef == rig) // 叶节点 7 { 8 segTree[index].counter = 0; 9 return;10 }11 int mid = (lef+rig) >> 1;12 construct((index<<1)+1, lef, mid);13 construct((index<<1)+2, mid+1, rig);14 segTree[index].counter = 0;15 }2、线段树的元素插入
/* 插入线段[start,end]到线段树, 同时计数区间次数 */
void insert(int index, int start, int end)
{
if(segTree[index].left == start && segTree[index].right == end)
{
++segTree[index].counter;
return;
}
int mid = (segTree[index].left + segTree[index].right) >> 1;
if(end <= mid)//左子树
{
insert((index<<1)+1, start, end);
}else if(start > mid)//右子树
{
insert((index<<1)+2, start, end);
}else//分开来了
{
insert((index<<1)+1, start, mid);
insert((index<<1)+2, mid+1, end);
}
}
1 /* 插入线段[start,end]到线段树, 同时计数区间次数 */ 2 void insert(int index, int start, int end) 3 { 4 if(segTree[index].left == start && segTree[index].right == end) 5 { 6 ++segTree[index].counter; 7 return; 8 } 9 int mid = (segTree[index].left + segTree[index].right) >> 1;10 if(end <= mid)//左子树 11 {12 insert((index<<1)+1, start, end);13 }else if(start > mid)//右子树 14 {15 insert((index<<1)+2, start, end);16 }else//分开来了 17 {18 insert((index<<1)+1, start, mid);19 insert((index<<1)+2, mid+1, end);20 }21 }3、线段树的元素查找
/* 查询点x的出现次数
* 从根节点开始到[x,x]叶子的这条路径中所有点计数相加方为x出现次数
*/
int query(int index, int x)
{
if(segTree[index].left == segTree[index].right) // 走到叶子，返回
{
return segTree[index].counter;
}
int mid = (segTree[index].left+segTree[index].right) >> 1;
if(x <= mid)
{
return segTree[index].counter + query((index<<1)+1,x);
}
return segTree[index].counter + query((index<<1)+2,x);
}
1 /* 查询点x的出现次数 2 * 从根节点开始到[x,x]叶子的这条路径中所有点计数相加方为x出现次数 3 */ 4 int query(int index, int x) 5 { 6 if(segTree[index].left == segTree[index].right) // 走到叶子，返回 7 { 8 return segTree[index].counter; 9 }10 int mid = (segTree[index].left+segTree[index].right) >> 1;11 if(x <= mid)12 {13 return segTree[index].counter + query((index<<1)+1,x);14 }15 return segTree[index].counter + query((index<<1)+2,x);16 }4、线段树的元素删除
void delete_ (int c , int d, int index)
{
if(c <= segTree[index].left && d >= segTree[index].right)
segTree[index].counter--;
else
{
if(c < (segTree[index].left + segTree[index].right)/2 ) delete_( c,d, segTree[index].left);
if(d > (segTree[index].left + segTree[index].right)/2 ) delete_( c,d, segTree[index].right);
}
}
1 void delete_ (int c , int d, int index) 2 { 3 if(c <= segTree[index].left && d >= segTree[index].right) 4 segTree[index].counter--; 5 else 6 { 7 if(c < (segTree[index].left + segTree[index].right)/2 ) delete_( c,d, segTree[index].left); 8 if(d > (segTree[index].left + segTree[index].right)/2 ) delete_( c,d, segTree[index].right); 9 }10 } 四、线段树的应用
- 区间最值查询问题
- 连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题
- 多维空间的动态查询