1. 整函数 (entire function)
(1) 定义: 若 f
<script id="MathJax-Element-1" type="math/tex">f</script> 在 C<script id="MathJax-Element-2" type="math/tex">\bbC</script> 上解析, 则称 f<script id="MathJax-Element-3" type="math/tex">f</script> 为整函数.
(2) 性质: f(z)=∑∞n=0cnzn, 0≤|z|<∞<script id="MathJax-Element-4" type="math/tex">\dps{f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_nz^n,\ 0\leq |z|<\infty}</script>.
(3) 例: f(z)=ez,sinz,cosz<script id="MathJax-Element-5" type="math/tex">f(z)=e^z,\sin z,\cos z</script>.
(4) 分类 (按 ∞<script id="MathJax-Element-6" type="math/tex">\infty</script> 为 f<script id="MathJax-Element-7" type="math/tex">f</script> 的哪类奇点) ∞ 为 f 的可去奇点∞ 为 f 的 m 阶极点∞ 为 f 的本质奇点?f≡const,?f 是一个 m 次多项式,?有无穷多个 cn≠0. <script id="MathJax-Element-8" type="math/tex; mode=display">\beex \bea \infty\mbox{ 为 }f\mbox{ 的可去奇点}&\lra f\equiv \const,\\ \infty\mbox{ 为 }f\mbox{ 的 }m\mbox{ 阶极点}&\lra f\mbox{ 是一个 }m\mbox{ 次多项式},\\ \infty\mbox{ 为 }f\mbox{ 的本质奇点}&\lra \mbox{有无穷多个 }c_n\neq 0. \eea \eeex</script>
(5) 单叶整函数的刻画: <script id="MathJax-Element-9" type="math/tex; mode=display">\bex f(z)=az+b,\quad (a\neq 0). \eex</script>
2. 亚纯函数 (meromorphic function)
(1) 定义: 若 f<script id="MathJax-Element-10" type="math/tex">f</script> 在 C<script id="MathJax-Element-11" type="math/tex">\bbC</script> 上除极点外没有其他类型的奇点, 则称 f<script id="MathJax-Element-12" type="math/tex">f</script> 为亚纯函数.
(2) 分类: ???????????有理函数 P(z)Q(z) 超越整函数刻画:例:在 C?上除极点外没有其他类型的奇点1ez?1<script id="MathJax-Element-13" type="math/tex">\dps{\sedd{\ba{lll} \mbox{有理函数 }\cfrac{P(z)}{Q(z)}&\mbox{刻画:}&\mbox{在 }\bbC^*\mbox{上除极点外没有其他类型的奇点}\\ \mbox{ 超越整函数}&\mbox{例:}&\cfrac{1}{e^z-1} \ea}}</script>.
作业: P 213 T 4 (3) (4) .
