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勾股数组【学习笔记】
本原勾股数组(简写为PPT)是一个三元组(a,b,c),其中a,b,c没有公因数,且满足。例如下面是一项本原勾股数组:
(3,4, 5),(5,12,13),(8,15,17),(7,24,25),(9,40,41),(11,60,61),(28,45,56),(33,56,65)。
由这个短表容易得到一些结论,例如,似乎a与b奇偶性不同且c总是奇数。
证明如下:
若a与b都是偶数,则c也是偶数,意味着a,b,c有公因数2,所以三元组不是本原的,其次,若a,b都是奇数,那么c必然是偶数,这样假设a=2x+1,b=2y+1,c=2z,代入,化简后得2x^2 + 2x + 2y^2 + 2y + 1 = 2z,显然不成立。所以,考虑到a,b的互换性,我们得出a是奇数,b是偶数,a,b,c没有公因数。
接着观察如下,如果(a,b,c)是本原勾股数组,则可进行因数分解:
a^2 = c^2 – b^2 = (c - b) * (c + b)
下面为举例:
3^2 = 5^2 - 4^2 = (5-4)(5+4) = 1 * 9,
15^2 = 17^2 - 8^2 = (17-8)(17+8) = 9 * 25,
21^2 = 29^2 - 20^2 = (29-20)(29+20) = 9 * 49。
我们发现似乎c - b与c + b本身总是平方数,如何证明呢?
由前面观察,c – b与c + b似乎没有公因数,证明如下:
假设正整数d是c-b与c+b的公因数,则d也整除(c - b) + ( c + b) = 2c 和 (c + b) - (c - b) = 2b,但是b和c没有公因数,所以d = 1或d = 2,但是d也整除(c - b)* (c + b) = a^2,因为a是奇数,所以只能是d = 1,所以c - b与c + b没有公因数。
现在我们知道c-b与c+b无公因数并且相乘为平方数,所以c-b与c+b自身都是平方数,记:
c + b = s^2, c – b = t^2, 其中s> t≥1是没有公因数的奇数。所以解为:
b = (s^2 - t^2)/ 2,
c = (s^2 + t^2)/ 2,
a = s * t.
从而得出勾股数组定理:
每个本原勾股数组(a,b,c)(其中a为奇数,b为偶数)都可从如下公式得出:
a = s * t,b = (s^2 - t^2)/ 2, c = (s^2 + t^2)/ 2。
其中a>t≥1是任意没有公因数的奇数。
如果取t=1,则三元组(s, (s^2 - 1)/ 2, (s^2 + 1)/ 2),它的b与c值仅相差1.
今天正好做了一道有关的题:
题目链接:codeforces 707C. Pythagorean Triples
题意:给出一个数,构造勾股数。
题解:
a≤2时无解;
a为奇数时,直接用上面取t = 1的公式得b = (a^2 - 1)/ 2, c = (a^2 + 1)/ 2;
a为偶数时,当a = 4 *d时,直接可以套勾股数(3,4,5),从而b= 3 *d, c = 5 * d,
对于其他的偶数a,可以a = a/ 2, 将a化为奇数,再直接用上面公式即可.
1 #include<cstdio> 2 int main(){ 3 long long a; 4 scanf("%I64d", &a); 5 if(a == 1 || a == 2) 6 printf("-1\n"); 7 else if(a % 4 == 0){ 8 printf("%I64d %I64d\n", a/4*3, a/4*5); 9 }10 else if(a % 2 == 0){11 a /= 2;12 printf("%I64d %I64d\n", (a*a-1)/2*2, (a*a+1)/2*2);13 }14 else15 printf("%I64d %I64d\n", (a*a-1)/2, (a*a+1)/2);16 return 0;17 }
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