课程链接：目标2017初中数学联赛集训队-1（赵胤授课）

1. 证明: 当素数 $p\ge7$ 时, $p^4 - 1$ 可被 $240$ 整除.

解答: $$p^4 - 1 = (p^2 + 1)(p + 1)(p - 1)$$ $$\Rightarrow \begin{cases}24\ \big{|}\ (p+1)(p-1)\\10\ \big{|}\ p^4 - 1\end{cases} \Rightarrow 240\ \big{|}\ p^4 - 1.$$ 注: $10\ \big{|}\ p^4 - 1$ 可由尾数确定($1$, $3$, $7$, $9$), $24\ \big{|}\ (p+1)(p-1)$ 是相邻两个偶数之积以及 $p$ 模 $3$ 余 $1$ 或 $2$ 可确定.

2. 开始时, $2$, $0$, $1$, $7$ 四个数自左至右写成一行. 对于每两个相邻的数, 都用右边的一个数减去左边的一个数, 并将所得的差写在两个数之间, 得到由 $7$ 个数所列成的行, 称为进行了一次操作. 再对该行数进行所述的操作, 并一直如此进行下去, 共进行了 $100$ 此操作. 试求最后所得的一行数的和.

解答:

设开始四个数为 $a$, $b$, $c$, $d$, $S_0 = a + b + c + d$.

第一次操作变为 $a$, $b-a$, $b$, $c-b$, $c$, $d-c$, $d$, $S_1 = b + c + 2d = S_0 + (d-a)$.

第二次操作变为 $a$, $b-2a$, $b-a$, $a$, $b$, $c-2b$, $c - b$, $b$, $c$, $d-2c$, $d - c$, $c$, $d$, $S_2 = -a + b + c + 3d = S_1 + (d - a)$.

即每次操作和数增加最后一项与首项之差 $d-a$.

因此 $$S_{100} = S_0 + 100(d-a) = 10 + 100\cdot5 = 510.$$

3. 证明: 任何四个正整数 $x$, $y$, $z$, $t$ 都不能满足如下的等式: $$3x^4 + 5y^4 + 7z^4 = 11t^4.$$

解答:

若 $t$ 是奇数, 则 $11t^4 \equiv 11 \equiv 3 \pmod 8$, 若左式均为奇数, 则 模 $8$ 余 $7$, 因此为一个奇数两个偶数, 即 $x$ 是奇数, $y$, $z$ 是偶数. $$\Rightarrow 5y^4 + 7z^4 = 11t^4 - 3x^4 = 3(t^2 + x^2)(t + x)(t - x) + 8t^4.$$ 易知左式是 $16$ 的倍数, 而右式无论 $t$ 与 $x$ 模 $4$ 是否同余($1$ 或 $3$), 均有 $8\ |\ (t+x)(t-x)$ (二者之一是 $4$ 的倍数, 另一个为 $2$ 的倍数), 因此 $16\ \big{|}\ 3(t^2 + x^2)(t + x)(t - x)$ 但 $16\ \not\big{|}\ 8t^4$.

若 $t$ 是偶数, 且 $x$, $y$, $z$ 中两个奇数一个偶数, 由模 $8$ 余数可知, $x$, $y$ 是奇数, $z$ 是偶数. $$\Rightarrow 3x^4 + 5y^4 = 11t^4 - 7z^4 = 7(t^2 + z^2)(t + z)(t-z) + 4t^4.$$ 易知右式是 $16$ 的倍数, 而左式令 $x = 2a+1$, $y = 2b+1$, 可得 $$3x^4 + 5y^4 \equiv 3(2a+1)^4 + 5(2b+1)^4 \equiv 3(4a^2 + 4a + 1)^2 + 5(4b^2 + 4b + 1)^2$$ $$\equiv 3(8a^2 + 8a + 1) + 5(8b^2 + 8b + 1) \equiv 24a(a+1) + 3 + 40b(b+1) + 5$$ $$\equiv 3 + 5 \equiv 8 \pmod{16}.$$ 因此 $x$, $y$, $z$ 均为偶数. 此时在左右两边同时除以 $2$ 的某个方幂即得上述两种情形之一.

故符合题意的数组不存在.

4.凸四边形被两条对角线分成 $4$ 个三角形. 若这些三角形的面积都是整数, 证明: 这 $4$ 个整数的乘积不可能以 $2017$ 结尾.

解答:

设四个三角形面积(顺时针)分别为 $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$, 则 $$S_1 \cdot S_3 = S_2 \cdot S_4\Rightarrow S_1S_2S_3S_4 = \left(S_1S_3\right)^2 = 2017.$$ 而完全平方数尾数不能为 $7$. 命题得证.

5. 设 $p_1$, $p_2$, $\cdots$, $p_{24}$ 都是不小于 $5$ 的素数. 证明: $$24\ \Big{|}\ \sum_{i = 1}^{24}p_i^2.$$

解答: $$\sum_{i = 1}^{24}p_i^2 - 24 = \left(p_1^2 - 1\right) + \left(p_2^2 - 1\right) + \cdots + \left(p_{24}^2 - 1\right)$$ $$= (p_1 + 1)(p_1 - 1) + (p_2+1)(p_2 - 1) + \cdots + (p_{24} + 1)(p_{24} - 1)$$ 而 $24\ \big{|}\ (p_i + 1)(p_i - 1)$, 命题得证.

6. 利用计算器可以完成 $5$ 种运算: 加, 减, 乘, 除, 和平方根. 试给出一个公式, 使得可利用该计算器按该公式运算, 求出任意两个实数 $a$ 与 $b$ 的较大者.

解答: $$\max\left\{a,\ b\right\} = \frac{1}{2}\left(\sqrt{(a - b)^2} + a + b\right).$$

腾讯课堂目标2017初中数学联赛集训队作业题解答-11