课程链接：目标2017初中数学联赛集训队-1（赵胤授课）

1. 已知二次函数 $y = 3ax^2 + 2bx - (a + b)$, 当 $x = 0$ 和 $x = 1$ 时, $y$ 的值均为正数, 则当 $0 < x < 1$ 时, 抛物线与 $x$ 轴的交点个数是多少?

解答:

令 $f(x) = 3ax^2 + 2bx - (a + b)$, $$\Rightarrow \begin{cases}f(0) = -(a + b) > 0\\ f(1) = 3a + 2b - (a + b) > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a + b < 0\\ 2a + b > 0 \end{cases} \Rightarrow a > 0,\ b < 0.$$ $$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{4}a + b - (a + b) = -\frac{1}{4}a < 0.$$ 因此 $f(x)$ 在 $\left(0, \dfrac{1}{2}\right)$ 及 $\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)$ 内各有一个实根, 即与 $x$ 轴有 $2$ 个交点.

2. $mx^2 - (m-1)x + m^2 - m - 2 = 0$ 的两根分别在 $0 < x < 1$ 和 $1 < x < 2$ 的范围内, 求 $m$ 之取值范围.

解答:

令 $f(x) = mx^2 - (m-1)x + m^2 - m - 2$, $$\Rightarrow \begin{cases}m\cdot f(0) > 0\\ m\cdot f(1) < 0\\ m\cdot f(2) > 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}m(m-2)(m+1) > 0\\ m(m^2 - m - 1) < 0\\ m^2(m + 1) > 0 \end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases}-1 < m < 0,\ m > 2\\ m < \dfrac{1 - \sqrt5}{2},\ 0 < m < \dfrac{1+ \sqrt5}{2}\\ m > -1 \end{cases}$$ $$\Rightarrow -1 < m < \frac{1 - \sqrt5}{2}.$$

3. $f(x) = 4x^2 - 4ax + (a^2 - 2a + 2)$ 在 $0 \le x \le 2$ 上最小值为 $2$, 求 $a$ 的值.

解答:

对称轴方程为 $x = \dfrac{a}{2}$, $$\frac{a}{2} \le 0 \Rightarrow \begin{cases}a \le 0\\ f(0) = a^2 - 2a + 2 = 2\end{cases} \Rightarrow a = 0$$ $$\frac{a}{2} \ge 2 \Rightarrow\begin{cases}a \ge 4\\ f(2) = a^2 - 10a + 18 = 2\end{cases} \Rightarrow a = 8$$ $$0 < \frac{a}{2} < 2 \Rightarrow \begin{cases}0 < a < 4\\ f\left(\dfrac{a}{2}\right) = \dfrac{-32a + 32}{16} = 2\end{cases} \Rightarrow a\in\phi$$ 综上, $a_1 = 0$, $a_2 = 8$.

4. 设二次函数 $f(x)$ 满足 $f(x + 2) = f(-x + 2)$, 且其图像与 $y$ 轴交于点 $(0, 1)$, 在 $x$ 轴上截得的线段长为 $2\sqrt2$, 求 $f(x)$ 之解析式.

解答:

对称轴为 $x = \dfrac{1}{2}(x+2 + 2 - x) = 2$, 因此 $f(x)$ 与 $x$ 轴交点坐标为 $(2-\sqrt2, 0)$, $(2 + \sqrt2, 0)$, $$f(x) = a(x-2+\sqrt2)(x - 2 - \sqrt2) \Rightarrow f(0) = 2a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}.$$ 因此 $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 2x + 1$.

5. 设整系数二次方程 $x^2 + mx + n = 0$ 的两个根 $\alpha$ 与 $\beta$ 满足不等式 $\alpha > 1$, $-1 < \beta < 1$. 试证: $\alpha^3 + \beta^3 \ge 4$.

解答: $$\begin{cases}f(-1) = 1 - m + n > 0\\ f(1) = 1 + m + n < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} m - n < 1\\ m + n < -1 \end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases}m < 0\\ m-1 < n < - m -1\Rightarrow m \le n \le -m-2\end{cases}$$ $$\Rightarrow \alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)\left[(\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta\right] = -m\left(m^2 - 3n\right)$$ $$= -m^3 + 3mn \ge -m^3 + 3m(-m - 2) = -m\left(m^2 + 3m + 6\right)$$ $$= -m\left[\left(m + \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{15}{4}\right] = g(m).$$ 当 $m \le -2$ 时, $$-m\left[\left(m + \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{15}{4}\right] \ge g(-2) = 8.$$ 当 $m = -1$ 时, $$-m\left[\left(m + \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{15}{4}\right] = 4.$$ 综上, $\alpha^3 + \beta^3 \ge 4$.

6. $a, b, c\in\mathbf{R}$, 且满足 $(a+c)(a+b+c) < 0$, 求证: $(b - c)^2 > 4a(a+b+c)$.

解答:

由证明式考虑构造二次函数并使用判别式定理. $$f(x) = ax^2 + (b-c)x + (a+b+c)$$ 需证明 $f(x)$ 与 $x$ 轴有两个不同交点.

由已知考虑构造 $f(\alpha) = a+c$ 及 $f(\beta) = a+b+c$, $$\Rightarrow \begin{cases}f(-1) = a + c-b + a+b+c = 2(a+c)\\ f(0) = a+b+c \end{cases}$$ $$\Rightarrow f(0)\cdot f(-1) < 0$$ 暨 $f(x)$ 必与 $x$ 轴有两个不同交点, 命题得证.

腾讯课堂目标2017初中数学联赛集训队作业题解答-10