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最大流（EK)
最大流 — Edmond Karp算法
Edmond Karp算法的大概思想：
反复寻找源点s到汇点t之间的增广路径，若有，找出增广路径上每一段[容量-流量]的最小值delta，若无，则结束。
在寻找增广路径时，可以用BFS来找，并且更新残留网络的值(涉及到反向边)。
而找到delta后，则使最大流值加上delta，更新为当前的最大流值。
(粗体表明需要掌握的概念)
关于反向边：
以下摘至HDOJ的课件和网上的：
首先来看一下基本的网络流最大流模型。
有n个点，有m条有向边，有一个点很特殊，只出不进，叫做源点，通常规定为1号点。另一个点也很特殊，只进不出，叫做汇点，通常规定为n号点。每条有向边上有两个量，容量和流量，从i到j的容量通常用c[I,j]表示,流量则通常是f[I,j]。通常可以把这些边想象成道路，流量就是这条道路的车流量，容量就是道路可承受的最大的车流量。很显然的，流量<=容量。而对于每个不是源点和汇点的点来说，可以类比的想象成没有存储功能的货物的中转站，所有”进入”他们的流量和等于所有从他本身”出去”的流量。
把源点比作工厂的话，问题就是求从工厂最大可以发出多少货物，是不至于超过道路的容量限制，也就是，最大流。
比如这个图。每条边旁边的数字表示它的容量。
下面我们来考虑如何求最大流。
首先，假如所有边上的流量都没有超过容量(不大于容量)，那么就把这一组流量，或者说，这个流，称为一个可行流。一个最简单的例子就是，零流，即所有的流量都是0的流。
我们就从这个零流开始考虑，假如有这么一条路，这条路从源点开始一直一段一段的连到了汇点，并且，这条路上的每一段都满足流量<容量，注意，是严格的<,而不是<=。那么，我们一定能找到这条路上的每一段的(容量-流量)的值当中的最小值 delta。我们把这条路上每一段的流量都加上这个delta，一定可以保证这个流依然是可行流，这是显然的。
这样我们就得到了一个更大的流，他的流量是之前的流量+delta，而这条路就叫做增广路。
我们不断地从起点开始寻找增广路，每次都对其进行增广，直到源点和汇点不连通，也就是找不到增广路为止。当找不到增广路的时候，当前的流量就是最大流，这个结论非常重要。
寻找增广路的时候我们可以简单的从源点开始做bfs，并不断修改这条路上的delta量，直到找到源点或者找不到增广路。
这里要先补充一点，在程序实现的时候，我们通常只是用一个c数组来记录容量，而不记录流量，当流量+1的时候，我们可以通过容量-1来实现，以方便程序的实现。
先来看看BFS部分的代码（C/C++实现）：
1 | // 用BFS来判断从结点s到t的路径上是否还有delta |
2 | // 即判断s,t之间是否还有增广路径，若有，返回1 |
3 | bool BFS(int s, int t) |
4 | { |
5 | queue<int> que; |
6 | memset(pre, -1, sizeof(pre)); |
7 | memset(vis, false, sizeof(vis)); |
8 | |
9 | pre[s] = s; |
10 | vis[s] = true; |
11 | que.push(s); |
12 | |
13 | int p; |
14 | while(!que.empty()) |
15 | { |
16 | p = que.front(); |
17 | que.pop(); |
18 | for(int i=1; i<=M; ++i) |
19 | { |
20 | if(r[p][i]>0 && !vis[i]) |
21 | { |
22 | pre[i] = p; |
23 | vis[i] = true; |
24 | if(i == t) // 存在增广路径 |
25 | return true; |
26 | que.push(i); |
27 | } |
28 | } |
29 | } |
30 | return false; |
31 | } |
但事实上并没有这么简单，上面所说的增广路还不完整，比如说下面这个网络流模型。
我们第一次找到了1-2-3-4这条增广路，这条路上的delta值显然是1。于是我们修改后得到了下面这个流。（图中的数字是容量）
这时候(1,2)和(3,4)边上的流量都等于容量了，我们再也找不到其他的增广路了，当前的流量是1。
但这个答案明显不是最大流，因为我们可以同时走1-2-4和1-3-4，这样可以得到流量为2的流。
那么我们刚刚的算法问题在哪里呢？问题就在于我们没有给程序一个”后悔”的机会，应该有一个不走(2-3-4)而改走(2-4)的机制。那么如何解决这个问题呢？回溯搜索吗？那么我们的效率就上升到指数级了。
而这个算法神奇的利用了一个叫做反向边的概念来解决这个问题。即每条边(I,j)都有一条反向边(j,i)，反向边也同样有它的容量。
我们直接来看它是如何解决的：
在第一次找到增广路之后，在把路上每一段的容量减少delta的同时，也把每一段上的反方向的容量增加delta。即在Dec(c[x,y],delta)的同时，inc(c[y,x],delta)
我们来看刚才的例子，在找到1-2-3-4这条增广路之后，把容量修改成如下
这时再找增广路的时候，就会找到1-3-2-4这条可增广量，即delta值为1的可增广路。将这条路增广之后，得到了最大流2。
那么，这么做为什么会是对的呢？我来通俗的解释一下吧。
事实上，当我们第二次的增广路走3-2这条反向边的时候，就相当于把2-3这条正向边已经是用了的流量给”退”了回去，不走2-3这条路，而改走从2点出发的其他的路也就是2-4。（有人问如果这里没有2-4怎么办，这时假如没有2-4这条路的话，最终这条增广路也不会存在，因为他根本不能走到汇点）同时本来在3-4上的流量由1-3-4这条路来”接管”。而最终2-3这条路正向流量1，反向流量1，等于没有流量。
这就是这个算法的精华部分，利用反向边，使程序有了一个后悔和改正的机会。而这个算法和我刚才给出的代码相比只多了一句话而已。
至此，最大流Edmond-Karp算法介绍完毕。
Edmond Karp算法具体实现(C/C++):
1 | /** |
2 | * Edmond Karp |
3 | * Max Flow |
4 | * by Tanky Woo @ www.wutianqi.com |
5 | */ |
6 | |
7 | #include <iostream> |
8 | #include <queue> |
9 | #include <algorithm> |
10 | using namespace std; |
11 | const int msize = 205; |
12 | |
13 | int N, M; // N--路径数, M--结点数 |
14 | int r[msize][msize]; // |
15 | int pre[msize]; // 记录结点i的前向结点为pre[i] |
16 | bool vis[msize]; // 记录结点i是否已访问 |
17 | |
18 | // 用BFS来判断从结点s到t的路径上是否还有delta |
19 | // 即判断s,t之间是否还有增广路径，若有，返回1 |
20 | bool BFS(int s, int t) |
21 | { |
22 | queue<int> que; |
23 | memset(pre, -1, sizeof(pre)); |
24 | memset(vis, false, sizeof(vis)); |
25 | |
26 | pre[s] = s; |
27 | vis[s] = true; |
28 | que.push(s); |
29 | |
30 | int p; |
31 | while(!que.empty()) |
32 | { |
33 | p = que.front(); |
34 | que.pop(); |
35 | for(int i=1; i<=M; ++i) |
36 | { |
37 | if(r[p][i]>0 && !vis[i]) |
38 | { |
39 | pre[i] = p; |
40 | vis[i] = true; |
41 | if(i == t) // 存在增广路径 |
42 | return true; |
43 | que.push(i); |
44 | } |
45 | } |
46 | } |
47 | return false; |
48 | } |
49 | |
50 | int EK(int s, int t) |
51 | { |
52 | int maxflow = 0, d; |
53 | while(BFS(s, t)) |
54 | { |
55 | d= INT_MAX; |
56 | // 若有增广路径，则找出最小的delta |
57 | for(int i=t; i!=s; i=pre[i]) |
58 | d = min(d, r[pre[i]][i]); |
59 | // 这里是反向边，看讲解 |
60 | for(int i=t; i!=s; i=pre[i]) |
61 | { |
62 | r[pre[i]][i] -= d; |
63 | r[i][pre[i]] += d; |
64 | } |
65 | maxflow += d; |
66 | } |
67 | return maxflow; |
68 | } |
69 | |
70 | int main() |
71 | { |
72 | while(cin >> N >> M) |
73 | { |
74 | memset(r, 0, sizeof(r)); |
75 | int s, e, c; |
76 | for(int i=0; i<N; ++i) |
77 | { |
78 | cin >> s >> e >> c; |
79 | r[s][e] += c; // 有重边时则加上c |
80 | } |
81 | |
82 | cout << EK(1, M) << endl; |
83 | } |
84 | return 0; |
85 | } |
注：以上代码可直接套用HDOJ 1532 ( Drainage Ditches ) 和HDOJ 3549 （Flow Problem）。完毕