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IMO2012 Problem5 题解
这是一篇老文章了。原文写于
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IMO2012 Problem5:
$\Delta ABC$中,$C$为直角,$CD$是斜边上的高。在$CD$上任取一点$X$,在$XA$上取一点$L$使得$BL=BC$;在$XB$上取一点$K$使得$AK=AC$.连$AK,BL$交于$M$,求证$MK=ML$
证明:
设以$A$为圆心,$AC$为半径的圆为$w_1$,则$K$在$w_1$上;以$B$为圆心,$BC$为半径的圆为$w_2$,则$L$在$w_2$上。
延长$AX$交$w_2$于$P$,延长$BX$交$w_1$于$Q$。显然$CD$为两圆根轴,$X$在根轴上,从而$XK*XQ=XL*XP$,即$KLPQ$共圆$w_3$
由切割线定理,$AL*AP=AC^2=AK^2$,从而由切割线逆定理,$AK$是$w_3$的切线,同理$BL$也是切线
即$MK,ML$都是$w_3$的切线段,它们当然相等,证毕
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