>> 皮亚诺(Peano)公理

定义自然数

公理2.1   0是一个自然数.

公理2.2   若n是自然数, 则n++也是自然数.

公理2.3   0不是任何自然数的后继, 即对于每个自然数n , 都有n++ ≠ 0.

公理2.4   不同的自然数必有不同的后继者; 也就是说, 若n, m是自然数且n≠m, 则n++ ≠ m++. 等价地说, 若n++ = m++, 则必有n = m.

公理2.5(数学归纳原理)   设P(n)是关于自然数的一个性质, 假设P(0)是真的 , 并假设只要P(n)是真的, 则P(n++)也是真的. 那么对于每个自然数n,  P(n)都是真的.

//单个自然数有限, 自然数的集合无限.

>> 自然数的运算

1. 增长(++)

2. 加法

定义2.2.1(自然数的加法)    设m是自然数. 为使m加上0, 我们定义0+m:=m. 现归纳的假定已定义好如何使m加上n. 那么把m加上n++则定义为(n++)+m := (n+m)++.

定义

0+m = m

(n++)+m = (n+m)++

推论

m+0 = m

①0+0 = 0

②假设n+0 = n

  ∵ (n++)+0 = (n+0)++ = n++

  ∴ 假设成立.

n+(m++) = (n+m)++

①0+(m++) = m++

②假设 n+(m++) = (n+m)++

  ∵(n++)+(m++) = ( n+(m++) )++ = (n+m)++ ++ = ( (n++)+m )++

  ∴假设成立.

n++ = n+1

n+1 = n+(0++) = (n+0)++ = n++

交换律: 对于任何自然数n, m, n+m = m+n.

①0+m = m+0

②假设 n+m = m+n

  ∵(n++)+m = (n+m)++ = n+(m++)

  ∴假设成立.

结合律: 对于任何自然数a, b, c,  (a+b)+c = a+(b+c)

①(a+0)+c = a+c = a+(0+c)

②假设 (a+b)+c = a+(b+c)

  ∵( a+(b++) )+c = ( (a+b)++ )+c = ( (a+b)+c )++ = ( a+(b+c) )++ = a+(b+c)++ = a+( (b++)+c )

  ∴假设成立.

消去律: 设a, b, c为自然数, 且a+b = a+c, 则b = c.

①0+b = 0+c  → b = c

②假设a+b = a+c → b = c

  ∵ 设 (a++)+b = (a++)+c

     (a+b)++ = (a+c)++   →  a+b = a+c(公理2.4)  →  b = c

  ∴假设成立.

定义2.2.7: 一个自然数叫做正的, 当且仅当它不等于0.

推论

1. 若a是正数, b是自然数. 则a+b是正数.

①a+0是正数

②假设a+b是正数

  ∵a+(b++) = (a+b)++ ≠ 0

  ∴假设成立.

2. 若a, b是自然数, 且a+b = 0. 则a = 0, b = 0.

(反证): 假设a≠0, 则a是正数. 由推论1, a+b是正数. 与a+b=0矛盾.

∴a=0, b=0(同理).

3.设a是正数, 则存在一个自然数b, 使b++ = a.

①0++ = 1

②假设b++ = a

  ∵a++ = (b++)++ = (b++)+1 ≠ 0

  ∴假设成立.

 未完待续......

《数学分析Analysis》の 学习笔记