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{POJ}{3971}{Scales}{O(N)动态规划}

题意:给定一堆2二进制砝码,给定一个物品,要求在天平两端加入物品和砝码使之平衡,求可能数。

思路:一开始想到了直接用数学原理,结果没证出来。做如下思考,此题需要用二进制:

(1)设物品重量为w,加入的砝码重量为x,另一边重量为y,便有w+x=y

(2)另外,假如物品为100110,加入的砝码可以为000010,那么总和为101000,显然x与y不能有位数相同的1(因为每种砝码只有一个),因此便有x&y=0

依据这两点,可以知道此题的关键之处就在于如何分析w+x的进位情况。分析物品的第i位,比如为1,那么如果前面的一位没有进位,那么他便可以加上1或者不加;如果进位,那就肯定不能加1(因为加1以后与进位的1加上这一位的结果还是1,与x&y=0矛盾),所以对于每一位,它的进位与不进位情况需要分开判断。

DP思路:设f[i][0]表示判断到i位时它不进位的情况数,f[i][1]表示到i位时它进位的情况数,都是从低位到高位判断。

(1)先考虑f[i][0](不进位的情况)

  • i位为1,如果前面不进位,那么这一位只能加上0才满足不进位的情况;如果前面进位,那么无论如何不可能使这一位不进位,因此f[i][0]=f[i-1][0];
  • i位为0,如果前面不进位,那么这一位只能选择0(因为选择加1的话将会与x&y=0矛盾);如果前面进位,那么这一位也只能选择0才能使i位也不进位,因此有f[i][0]=f[i-1][0]+f[i-1][1];

(2)再考虑f[i][1](进位的情况)

  • i位为1,如果前面不进位,那么这一位只能选择1才能使i位进位;如果前面进位,那么只能选择0使之进位(如果选择1那么结果将会与x&y=0矛盾),因此f[i][1]=f[i-1][0]+f[i-1][1];
  • i位为0,如果前面不进位,那么这一位无论如何不可能进位;如果前面进位,那么只能选择1才能使i位进位,因此f[i][1]=f[i-1][1];

这样,DP方程就得到了

if(s[i] == 1){    f[i][0] = f[i-1][0];    f[i][1] = f[i-1][0]+f[i-1][1];}else{    f[i][0] = f[i-1][0]+f[i-1][1];    f[i][1] = f[i-1][1];}

注意:不得不说,这个题目挺不错的,此题中间结果可能会超出long long,因此需要分次数判断,因为这个点我WA了N次

#include <iostream>#include <string>#include <cstring>#include <cstdio>#include <algorithm>#include <memory>#include <cmath>#include <bitset>#include <queue>#include <vector>#include <stack>using namespace std; #define CLR(x,y) memset(x,y,sizeof(x))#define MIN(m,v) (m)<(v)?(m):(v)#define MAX(m,v) (m)>(v)?(m):(v)#define ABS(x) ((x)>0?(x):-(x))#define rep(i,x,y) for(i=x;i<y;++i)const int MAXN = 1100000;int t,n,m,d;int s[MAXN];int dp[MAXN][2];void Solve(){	char c;	scanf("%d",&t);	while(t--)	{		scanf("%d%d%d",&n,&m,&d);		getchar();		CLR(s,0);		for(int i = m-1; i >= 0; --i){			scanf("%c",&c);			s[i] = c-‘0‘;		}		if(s[0] == 0) {			dp[0][0] = 1;			dp[0][1] = 0;		}		else{			dp[0][0] = 1;			dp[0][1] = 1;		}		for(int i = 1; i < n; ++i){			if(s[i] == 1){				dp[i][0] = dp[i-1][0];				dp[i][1] = dp[i-1][0]+dp[i-1][1];			}			else{				dp[i][0] = dp[i-1][0]+dp[i-1][1];				dp[i][1] = dp[i-1][1];			}			if(dp[i][0]>=d) dp[i][0]-=d;			if(dp[i][1]>=d) dp[i][1]-=d;		}		cout<<(dp[n-1][0])<<endl;	}}int main(){	Solve();	return 0;}