一.K-L变换

说PCA的话，必须先介绍一下K-L变换了。

K-L变换是Karhunen-Loeve变换的简称，是一种特殊的正交变换。它是建立在统计特性基础上的一种变换，有的文献也称其为霍特林（Hotelling）变换，因为他在1933年最先给出将离散信号变换成一串不相关系数的方法。
K-L变换的突出优点是它能去相关性，而且是均方误差（Mean Square Error，MSE）意义下的最佳变换。

下面就简单的介绍一下K-L变换了。

设，随机向量X ∈Rⁿ(n阶列向量)，它的均值向量为m_X，则其协方差矩阵可以表示为

C_x= E{(X-m_x)*(X-m_x)^T}                           （2.1）

C_x是一个n*n阶的实对称阵。

K-L变换定义了一正交变换A ∈R^n*n，将X ∈Rⁿ的向量映射到用Y ∈Rⁿ代表的向量，并且使Y向量中各分量间不相关：
Y = A*(X-m_x)                                            （2.2）

因为Y的各分量间不相关，则其协方差矩阵C_y为对角阵，即

C_y = diag(λ₁,λ₂,...,λ_n)

而矩阵A总是可以找到的，因为对于实对称阵，总能找到一个正交阵A，使得AC_xA^T的运算结果为对称阵。K-L变换中，将A的每一行取为C_x的特征向量，并且将这些特征向量按对应的特征值大小进行降序排序，使最大特征值对应的特征向量在A的第一行，而最小特征值对应的特征向量在A的最后一行。而C_y是C_x对角化后的结果，所以两个矩阵的特征值是一致的（λ₁,λ₂,...,λ_n）。

这样就可以通过矩阵A实现由随机向量X到随机向量Y的K-L变换了，而由

X = A^TY +m_x                                          （2.3）

就可以实现Y反变换到X。
若选择的最大k个特征值对应的k个特征向量，组成k×n的转换矩阵A，则变换后Y降为k维的，则由Y对X的恢复公式如下：

X‘ = A^KY +m_x                                          （2.4）

这时候C_y = diag(λ₁,λ₂,...,λ_k)，X与X’之间的均方误差可以由下式表达：

λ_k+1+.λ_k+2...+λ_n                                       （2.5）                            （没有公式编辑器啊）

上面我们提到了对于特征值λ是从大到小排序的，那么这时候通过式子2.5可以表明通过选择k个具有最大特征值的特征向量来降低误差。因此，从可以将向量X和它的近似X‘之间的均方误差降至最小这方面来说，K-L变换是最佳变换。

 

二.PCA，主成分分析

在二十世纪九十年代初，Kirby和Sirovich开始讨论利用PCA技术进行人脸图像的最优表示问题。并且由M.Turk和A.Pentland将此技术用于人脸识别中，并称为特征脸方法。M.Turk和A.Pentland将m×n的人脸图像，重新排列为m *n维的列向量。则所有的训练图像经此变换后得到一组列向量：{ x_i }，x_i∈R^m*n，其中N代表训练样本集中图像的个数。将图像看成一随机列向量，并通过训练样本对其均值向量和协方差矩阵进行估计。

均值向量μ通过下式估计：
μ = (1/N)*((x₁+x₂+...+x_N)                        （3.1）
协方差矩阵

S_T  = E{(x_i-u)*(x_i-u)^T}  = X‘X‘^T               （3.2）

其中X’ = [x₁-μ, x₂-μ,...., x_N-μ]

则将投影变换矩阵A取为ST的前k个最大特征值对应的特征向量。利用K-L变换式对原图像进行去相关并降维：

Y = A_K*(X-m_x)                                          （3.3）

因为S_T =X‘X‘^T，而X‘为（m*n）*N矩阵，但是因为X’为N阶矩阵，所以S_T的秩最大为N-1，这样只要计算出S_T的特征向量就可以计算出K-L变换矩阵了。

但是因为S_T是（m*n）*(m*n)阶的矩阵，所以计算它的特征向量比较复杂，这里使用了一个技巧：

X^TXv_i=δ_iv_i                                                （3.4）

(XX^T)(Xv_i)=δ_i(Xv_i)                                    （3.5）

根据式子3.4与3.5可以看出，只要计算出X^TX的特征值和特征向量δ_i与v_i，然后就可以计算出XX^T的 特征值和特征向量δ_i与Xv_i，而X^TX为N*N阶的矩阵，计算起来比较容易，除此以外，也可以使用SVD，这里就不提了。

三.PCA流程整理

PCA的整个变换过程整理了一下，如下：

1.将mxn的训练图像重新排列为m *n维的列向量。计算均值向量，并利用均值向量将所有样本中心化。
2.利用中心化后的样本向量，根据式（3.2）计算其协方差矩阵；对其特征值分解，并将特征向量按其对应的特征值大小进行降序排列。
3.选取第2步所得的k ≤N-1个最大特征值对应的特征向量组成投影矩阵A，将每幅已中心化的训练图像(x₁-μ, x₂-μ,...., x_N-μ)，向矩阵A投影，得到每幅训练图像的降维表示为(y₁-μ, y₂-μ,...., y_N)
4.对测试图像中心化，并投影到矩阵A，得到测试图像的降维表示。
5.选择合适的分类器，对测试图像进行分类。