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主成分分析与白化预处理
上一节介绍了主成分分析应用于2维数据。现在使用高维的图像数据来试试效果。
原始图像如图1所示。
图1
每个图片都是12*12的小patch,原始数据是一个144*10000的矩阵x。
在使用了PCA旋转之后,可以检查一下此时的协方差矩阵是否已经成功变成对角阵了,如图2所示。
avg=mean(x,1); x=x-repmat(avg,size(x,1),1); xRot = zeros(size(x)); % You need to compute this [u,s,v]=svd(x*x'/size(x,2)); xRot=u'*x; covar = zeros(size(x, 1)); % You need to compute this covar=xRot*xRot'/size(xRot,2); figure('name','Visualisation of covariance matrix'); imagesc(covar);</span>
图2
接下来我们需要找到使得图片方差保持在90%以上的k值。即取协方差矩阵最大的k个特征值用来后面降维。
k = 0; % Set k accordingly partial=0; total=sum(diag(s)); for k=1:size(x,1) partial=partial+s(k,k)/total; if partial>0.9 break; end end</span>这个k值是43。如果要求保持99%的样本方差,则k取116。
确定了k值之后,就可以用PCA降维了。
xHat = zeros(size(x)); xHat=u(:,1:k)*u(:,1:k)'*x;</span>可视化一下,可以看到用43个特征来重构出144维图片的效果,还是不错的。如图3。
图3
而如果像前文所说,取能保持99%的k值116的话,效果会更好,如图4。
图4
接下来还可以进行PCA白化。
epsilon = 0.1; xPCAWhite = zeros(size(x)); xPCAWhite=diag(1./sqrt(diag(s)+epsilon))*u'*x;</span>然后我们验证一下白化之后的新的协方差矩阵是否是对角阵,如图5。
covar = zeros(size(xPCAWhite, 1)); % You need to compute this covar=xPCAWhite*xPCAWhite'/size(xPCAWhite,2); figure('name','Visualisation of covariance matrix'); imagesc(covar);</span>
图5
最后是ZCA白化的处理效果,可以看出ZCA在不降维的情况下,通过变换将原始数据的边缘提取了出来,如图6。
xZCAWhite = zeros(size(x)); xZCAWhite=u*xPCAWhite; figure('name','ZCA whitened images'); display_network(xZCAWhite(:,randsel)); figure('name','Raw images'); display_network(x(:,randsel));
图6
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