设X=(X1，X2，…，XN)T为N维随机矢量，mX=E(X)和CX=E{(X－mX)(X－mX)T}分别为其平均值向量和协方差矩阵，ei和λi分别为CX的特征向量和对应的特征值，其中i=1，…，N，并设特征值已按降序排列，即λ1≥λ2≥…≥λN，则K-L变换式为：[1] 

Y=A(X-mx) (1.1)

其中变换矩阵A的行为CX的特征值，即：

式中：eij表示第i个特征向量的第j个分量。

K-L变换的性质

①Y的均值向量为零向量0。即：

mY=E{Y} =E{A(X-mX)}=0 (1.2)

②K-L变换使矢量信号各分量不相关，即变换域信号的协方差为对角矩阵。

③K-L反变换式为：

X=A-1Y+mX=ATY+mx (1.3)

④K-L变换是在均方误差准则下失真最小的一种变换，故又称作最佳变换。

这条性质与压缩编码有关。其意义是，如果在数据传输中只传送变换后的前n个系数组成的矢量，则根据这n个系数得到的恢复值可以得到最小的均方误差，其值为：

上式表明，在K-L变换下，最小均方误差值等于变换域中矢量信号的最小的N－n个方差的和。特别有意义的是，如果这些分量的均值为零，则在恢复时只要把这些分量置零，便可以使均方误差最小。

图像信号的K-L变换

K-L变换是一维变换，在对图像信号进行变换时，矢量可以是一幅图像或一幅图像中的子图像。矢量各分量之间的相关性反映了像素之间的相关性。为了得到矢量X，可以将图像或子图像的像素按行行相接或列列相接的次序排列，如图1所示。

(a)行行相接

(b)列列相接

图1由二维图像信号建立矢量信号

在建立了矢量信号之后，就要计算协方差矩阵CX，然后计算的特征矢量才能得到K-L变换矩阵A。

由此可见，尽管K-L变换具有性质(2)和(4)的最佳去相关和误差性能，但是由于求解特征值和特征根并非易事，特别是在维数高时甚至可能求不出来，而且变换矩阵与图像的内容有关，因而难以满足实时处理的要求。但是，K-L变换在变换编码中具有理论指导意义，人们通过比较，寻找出一些性能与K-L变换接近，但实现却容易得多的“准最佳”编码方法。

 

聚类变换认为：重要的分量就是能让变换后类内距离小的分量。类内距离小，意味着抱团抱得紧。但是，抱团抱得紧，真的就一定容易分类么？

如图1所示，根据聚类变换的原则，我们要留下方差小的分量，把方差大（波动大）的分量丢掉，所以两个椭圆都要向y轴投影，这样悲剧了，两个重叠在一起，根本分不开了。而另一种情况却可以这么做，把方差大的分量丢掉，于是向x轴投影，很顺利就能分开了。因此，聚类变换并不是每次都能成功的。

图1

 

摧枯拉朽的K-L变换

K-L变换是理论上“最好”的变换：是均方误差（MSE，MeanSquare Error）意义下的最佳变换，它在数据压缩技术中占有重要地位。

 

聚类变换还有一个问题是，必须一类一类地处理，把每类分别变换，让它们各自抱团。

K-L变换要把所有的类别放在一起变换，希望通过这个一次性的变换，让它们分的足够开。

 

K-L变换认为：各类抱团紧不一定好区分。目标应该是怎么样让类间距离大，或者让不同类好区分。因此对应于2种K-L变换。

 

其一：最优描述的K-L变换（沿类间距离大的方向降维）

首先来看个二维二类的例子，如图2所示。

图2

 

如果使用聚类变换，方向是方差最小的方向，因此降维向方向投影，得到2类之间的距离即为2条红线之间的距离，但是这并不是相隔最远的投影方向。将椭圆投影到方向，得到2类之间的距离为2条绿线之间的距离。这个方向就是用自相关矩阵的统计平均得到的特征向量

设共有M个类别，各类出现的先验概率为

以表示来自第i类的向量。则第i类集群的自相关矩阵为：

混合分布的自相关矩阵R是：

然后求出R的特征向量和特征值：

将特征值降序排列（注意与聚类变换区别）

为了降到m维，取前m个特征向量，构成变换矩阵A

以上便完成了最优描述的K-L变换。

 

为什么K-L变换是均方误差（MSE，MeanSquare Error）意义下的最佳变换？

其中表示n维向量y的第j个分量，表示第个特征分量。

引入的误差

均方误差为

 

从m+1开始的特征值都是最小的几个，所以均方误差得到最小。

 

以上方法称为最优描述的K-L变换，是沿类间距离大的方向降维，从而均方误差最佳。

本质上说，最优描述的K-L变换扔掉了最不显著的特征，然而，显著的特征其实并不一定对分类有帮助。我们的目标还是要找出对分类作用大的特征，而不应该管这些特征本身的强弱。这就诞生了第2种的K-L变换方法。

 

其二：最优区分的K-L变换（混合白化后抽取特征）

针对上述问题，最优区分的K-L变换先把混合分布白化，再来根据特征值的分离程度进行排序。

 

最优区分的K-L变换步骤

首先还是混合分布的自相关矩阵R

 

然后求出R的特征向量和特征值：

 

以上是主轴变换，实际上是坐标旋转，之前已经介绍过。

令变换矩阵

 

则有

 

这个作用是白化R矩阵，这一步是坐标尺度变换，相当于把椭圆整形成圆，如图3所示。

 

图3

 

以二类混合分布问题为例。

 

分别求出二类的特征向量和特征值，有

 

则二者的特征向量完全相同，唯一的据别在于其特征根，而且还负相关，即如果取降序排列时，则以升序排列。

为了获得最优区分，要使得两者的特征值足够不同。因此，需要舍弃特征值接近0.5的那些特征，而保留使大的那些特征，按这个原则选出了m个特征向量记作

 

则总的最优区分的K-L变换就是：