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Codeforces 396B On Sum of Fractions 数论
题目链接:Codeforces 396B On Sum of Fractions
题解来自:http://blog.csdn.net/keshuai19940722/article/details/20076297
题目大意:给出一个n,ans = ∑(2≤i≤n)1/(v(i)*u(i)), v(i)为不大于i的最大素数,u(i)为大于i的最小素数, 求ans,输出以分式形式。
解题思路:一开始看到这道题1e9,暴力是不可能了,没什么思路,后来在纸上列了几项,突然想到高中时候求等差数列时候用到的方法,具体叫什么不记得了。
1/(2*3) = (1/2 - 1/3) * 1/(3-2);
1/(3*5) = (1/3 - 1/5) * 1/(5-3);
然后值为1/(2*3)的个数有(3-2)个,为1/(3*5)的有(5-3)个;
这样假设有n,v = v(n), u = u(n);
1/(2*3) + 1/(3*5) * (5-3) + ...... + 1/(v*u) * (n-v+1) (注意最后不是u-v个)
= 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/5 + ........ -1/v + 1/(v*u) *(n-v+1)
= 1/2 - 1/v + 1/(v*u)*(n-v+1)
p = u*v + 2*(n-v-u+1); q = 2*u*v;
记得约分,然后u和v就用枚举的方式。
学到:
1、求一个很大的数n的最接近他的素数,可以筛出sqrt(n)内的素数,然后,判断素数是不是n的约数---其实是借助了一对约数里,小的总是<=sqrt(n)
1、求一个很大的数n的最接近他的素数,可以筛出sqrt(n)内的素数,然后,判断素数是不是n的约数---其实是借助了一对约数里,小的总是<=sqrt(n)
时间复杂度,<sqrt(n)时 O(1),>sqrt(n)时,O(n)
2、如果乍一看没发现规律或者没思路,自己模拟几个数,连续着模拟,别局限于Sample input,自己找找规律
int prmcnt; bool is[N];int prm[M]; int getprm(int n) { int i,j,k=0; int s,e=(int)(sqrt(0.0+n)+1); CL(is,1); prm[k++]=2;is[0]=is[1]=0; for(i=4;i<n;i+=2)is[i]=0; for(i=3;i<e;i+=2) if(is[i]) { prm[k++]=i; for(s=i*2,j=i*i; j<n; j+=s) is[j]=0; } for(;i<n;i+=2)if(is[i])prm[k++]=i; return k; } bool judge(int x) { if(x<MAXN-1)return is[x]; for(int i=0;i<prmcnt;i++) if(x% prm[i] == 0)return 0; return 1; }
AC代码
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <string> #include <iostream> #include <iomanip> #include <cmath> #include <map> #include <set> #include <queue> using namespace std; #define ls(rt) rt*2 #define rs(rt) rt*2+1 #define ll long long #define ull unsigned long long #define rep(i,s,e) for(int i=s;i<e;i++) #define repe(i,s,e) for(int i=s;i<=e;i++) #define CL(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) #define IN(s) freopen(s,"r",stdin) #define OUT(s) freopen(s,"w",stdout) const ll ll_INF = ((ull)(-1))>>1; const double EPS = 1e-8; const int INF = 100000000; const int MAXN = 1e5+5; const int N = MAXN; const int M=N; int prmcnt; bool is[N];int prm[M]; int getprm(int n) { int i,j,k=0; int s,e=(int)(sqrt(0.0+n)+1); CL(is,1); prm[k++]=2;is[0]=is[1]=0; for(i=4;i<n;i+=2)is[i]=0; for(i=3;i<e;i+=2) if(is[i]) { prm[k++]=i; for(s=i*2,j=i*i; j<n; j+=s) is[j]=0; } for(;i<n;i+=2)if(is[i])prm[k++]=i; return k; } bool judge(int x) { if(x<MAXN-1)return is[x]; for(int i=0;i<prmcnt;i++) if(x% prm[i] == 0)return 0; return 1; } int calv(int x) { for(int i=x;i>1;i--) if(judge(i))return i; // } int calu(int x) { for(int i=x+1;;i++) if(judge(i))return i; } ll gcd(ll x, ll y) { return y == 0?x:gcd(y,x%y); } int main() { prmcnt=getprm(MAXN-1); int ncase,n; scanf("%d",&ncase); while(ncase--) { scanf("%d",&n); ll v= calv(n); ll u= calu(n); ll up =v*u-2*u-2*v+2*n+2; ll down=2*v*u; ll tmp=gcd(up,down); up/=tmp; down/=tmp; cout << up << '/' << down << endl; } return 0; }
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