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CodeForces 396A 数论 组合数学
题目:http://codeforces.com/contest/396/problem/A
好久没做数论的东西了,一个获取素数的预处理跟素因子分解写错了,哭瞎了,呵呵,
首先ai最大值为10^9,n为500,最坏的情况 m最大值为500个10^9相乘,肯定不能获取m了,首选每一个ai肯定是m的一个因子,然后能分解就把ai给分解素因子,这样全部的ai都分解了 就能得到m的 所有素因子 以及 所有素因子的个数,题目求的 是n个因子的 不同序列的个数,所以每次 只能选出n个因子,这n个因子由素因子组成,其实就是对应每一个素因子 把它分配在n个位置上有多少种分法,然后所有素因子分法的 乘积就是最终的答案,至于怎么分配 其实就是隔板法
隔板法里有个是 允许有空的,这道题也是允许有空的
例1将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子,允许有盒子为空,但球必须放完,有多少种不同的方法?
分析:本题中的小球大小形状完全相同,故这些小球没有区别,问题等价于将小球分成三组,允许有若干组无元素,用隔板法.
解析:将20个小球分成三组需要两块隔板,因为允许有盒子为空,不符合隔板法的原理,那就人为的再加上3个小球,保证每个盒子都至少分到一个小球,那就符合隔板法的要求了(分完后,再在每组中各去掉一个小球,即满足了题设的要求)。然后就变成待分小球总数为23个,球中间有22个空档,需要在这22个空档里加入2个隔板来分隔为3份,共有C(22,2)=231种不同的方法.
点评:对n件相同物品(或名额)分给m个人(或位置),允许若干个人(或位置)为空的问题,可以看成将这n件物品分成m组,允许若干组为空的问题.将n件物品分成m组,需要m-1块隔板,将这n件物品和m-1块隔板排成一排,占n+m-1位置,从这n+m-1个位置中选m-1个位置放隔板,因隔板无差别,故隔板之间无序,是组合问题,故隔板有Cn+m-1 m-1种不同的方法,再将物品放入其余位置,因物品相同无差别,故物品之间无顺序,是组合问题,只有1种放法,根据分步计数原理,共有Cn+m-1 m-1×1=Cn+m-1 m-1种排法
假设素因子p有 k个,那么分法就是 C[K + N - 1][N - 1],累积就可以了
const ll MOD = 1000000007; int n; map<int ,int > mp; map<int ,int > ::iterator it; const int MAXN = 15000; int C[MAXN + 1][500 + 1];//m最大大概为x * 10^4500左右,所以大概需要2^15000 void Initial() {//组合数 int i,j; for(i=0; i<=MAXN; i++) { if(i <= 500)C[0][i] = 0ll; C[i][0] = 1ll; } for(i=1; i<=MAXN; ++i) { for(j=1; j<=MAXN && j <= 500; j++) C[i][j] = (C[i-1][j] + C[i-1][j-1]) % MOD; } } #define N 50009 int prime[N]; bool isprime[N]; int nprime = 0; void make_prime() {//获取一定范围内素数 memset(isprime,false,sizeof(isprime)); for(int i=2;i<100005 ;i++) if(!isprime[i]) for(int j=i*2;j<100005;j+=i) isprime[j]=true; for(int i=2;i<100005;i++) if(!isprime[i]) prime[nprime++]=i; } void divide(int x) {//素因子分解 int temp = (int)sqrt(x * 1.0); for(int i=0;i < nprime;i++) { if(prime[i] > temp)break; while(x%prime[i] == 0) { mp[prime[i]]++; x /= prime[i]; } } if(x != 1)mp[x]++; } void init() { mp.clear(); } bool input() { while(scanf("%d",&n) == 1) { return false; } return true; } void cal() { for(int i=0;i<n;i++) { int x; scanf("%d",&x); divide(x); } int ans = 1; for(it = mp.begin();it != mp.end();it++) { int tmp = it->second; //int xx = C[tmp + n - 1][n - 1]; //int yy = C[1][0]; ans = (ans %MOD * C[tmp + n - 1][n - 1]%MOD)%MOD; } cout<<ans<<endl; } void output() { } int main() { Initial(); make_prime(); while(true) { init(); if(input())return 0; cal(); output(); } return 0; }
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