作为哈夫曼树的一个重要应用，我们来介绍哈夫曼编码。在我的上一篇博文《树之哈夫曼树》中已经介绍了建立哈夫曼树的过程，而由哈夫曼树求得的编码为最优前缀码。每个叶子表示的字符的编码，就是从根到叶子的路径上的标号依次相连所形成的编码，显然这就是该字符的最优前缀码。所谓前缀码是指，对字符集进行编码时，要求字符集中任一字符的编码都不是其它字符的编码的前缀，比如常见的等长编码就是前缀码。所谓最优前缀码是指，平均码长或文件总长最小的前缀编码称为最优的前缀码（这里的平均码长相当于码长的期望值）。

        我们知道，变长编码可能使解码产生二义性，而前缀码的出现很好地解决了这个问题。而平均码长相当于二叉树的加权路径长度，从这个意义上说，由哈夫曼树生成的编码一定是最优前缀码，故通常不加区分的将哈夫曼编码也称作最优前缀码。

        需要注意的是，由于哈夫曼树建立过程的不唯一性可知，生成的哈夫曼编码也是不唯一的，并且在本文中，将树中左分支和右分支分别标记为0和1也造成了哈夫曼编码的不唯一性（当然也可以反过来，将左分支记为1，右分支记为0）。

        在实际应用中，我们通常采用下列做法：根据各个字符的权值建立一颗哈夫曼树，求得每个字符的哈夫曼编码，有了每个字符的哈夫曼编码，我们就可以制作一个该字符集的哈夫曼编码表。有了字符集的哈夫曼编码表之后，对数据文件的编码过程是：依次读人文件中的字符c，在哈夫曼编码表H中找到此字符，将字符c转换为对应的哈夫曼编码串。对压缩后的数据文件进行解码则必须借助于哈夫曼树，其过程是：依次读人文件的二进制码，从哈夫曼树的根结点出发，若当前读入0，则走向左孩子，否则走向右孩子。一旦到达某一叶子时便译出相应的字符。然后重新从根出发继续译码，直至文件结束。下面给出制作哈夫曼编码表的过程的代码，通过以上的分析，读者不难写出文件编码过程和解码过程的代码。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define n 6           //叶子数目
#define m 2*n-1       //树中结点总数
typedef struct{       //结点类型
    double weight;    //结点的权值
    int parent,lchild,rchild;//双亲指针及左右孩子
}HTNode;
typedef HTNode HuffmanTree[m];//HuffmanTree是向量类型

typedef struct{       //用于SelectMin函数中排序的结点类型
    int id;           //保存根结点在向量中的序号
    double weight;    //保存根结点的权值
}temp;

typedef struct{       //编码结点
    char ch;          //存储字符
    char bits[n+1];   //存放编码位串
}CodeNode;
typedef CodeNode HuffmanCode[n];

void InitHuffmanTree(HuffmanTree T){
    //初始化哈夫曼树
    //将2n-1个结点里的三个指针均置为空(即置为-1)，权值置为0
    for(int i=0;i<m;i++){
        T[i].lchild=-1;
        T[i].rchild=-1;
        T[i].parent=-1;
        T[i].weight=0;
    }
}

void InputWeight(HuffmanTree T){
    //输入叶子权值
    //读人n个叶子的权值存于向量的前n个分量中
    for(int i=0;i<n;i++){
        double x;
        scanf("%lf",&x);
        T[i].weight=x;
    }
}

bool cmp(temp a,temp b){
    //用于排序的比较函数
    return a.weight<b.weight;
}

void SelectMin(HuffmanTree T,int k,int *p1,int *p2){
    //在前k个结点中选择权值最小和次小的根结点，其序号分别为p1和p2
    temp x[m];              //x向量为temp类型的向量
    int i,j;
    for(i=0,j=0;i<=k;i++){  //寻找最小和次小根节点的过程
        if(T[i].parent==-1){//如果是根节点,则进行如下操作
            x[j].id=i;      //将该根节点的序号赋值给x
            x[j].weight=T[i].weight;//将该根节点的权值赋值给x
            j++;            //x向量的指针后移一位
        }
    }
    sort(x,x+j,cmp);        //对x按照权值从小到大排序
    //排序后的x向量的第一和第二个位置中存储的id是所找的根节点的序号值
    *p1=x[0].id;
    *p2=x[1].id;
}

void CreateHuffmanTree(HuffmanTree T){
    //构造哈夫曼树，T[m-1]为其根结点
    int i,p1,p2;
    InitHuffmanTree(T);    //将T初始化
    InputWeight(T);        //输入叶子权值
    for(i=n;i<m;i++){
        //在当前森林T[0．．i-1]的所有结点中，选取权最小和次小的
        //两个根结点T[p1]和T[p2]作为合并对象
        //共进行n-1次合并，新结点依次存于T[i]中

        SelectMin(T,i-1,&p1,&p2);//选择权值最小和次小的根结点，其序号分别为p1和p2

        //将根为T[p1]和T[p2]的两棵树作为左右子树合并为一棵新的树
        //新树的根是新结点T[i]
        T[p1].parent=T[p2].parent=i;//T[p1]和T[p2]的两棵树的根结点指向i
        T[i].lchild=p1;             //最小权的根结点是新结点的左孩子
        T[i].rchild=p2;             //次小权的根结点是新结点的右孩子
        T[i].weight=T[p1].weight+T[p2].weight;//新结点的权值是左右子树的权值之和
    }
}

void CharSetHuffmanEncoding(HuffmanTree T,HuffmanCode H){
    //根据哈夫曼树T求哈夫曼编码表H
    int c,p;//c和p分别指示T中孩子和双亲的位置
    char cd[n+1];//临时存放编码
    int start;//指示编码在cd中的起始位置
    cd[n]='\0';//编码结束符
    getchar();
    for(int i=0;i<n;i++){//依次求叶子T[i]的编码
        H[i].ch=getchar();//读入叶子T[i]对应的字符
        start=n;//编码起始位置的初值
        c=i;//从叶子T[i]开始上溯
        while((p=T[c].parent)>=0){//直至上溯到T[c]是树根为止
            //若T[c]是T[p]的左孩子，则生成代码0；否则生成代码1
            if(T[p].lchild==c)
                cd[--start]='0';
            else
                cd[--start]='1';
            c=p;//继续上溯
        }
        strcpy(H[i].bits,&cd[start]);//复制编码位串
    }
}

//*************************测试函数**********************************
int main(){
    HuffmanTree T;
    HuffmanCode H;
    printf("请输入%d个叶子结点的权值来建立哈夫曼树：\n",n);
    CreateHuffmanTree(T);
    printf("请输入%d个叶子结点所代表的字符：\n",n);
    CharSetHuffmanEncoding(T,H);
    printf("哈夫曼树已经建好，哈夫曼编码已经完成，输出如下：\n");
    printf("哈夫曼树：\n");
    for(int i=0;i<m;i++){
        printf("id:%d  weight:%.1lf   parent:%d",i,T[i].weight,T[i].parent);
        printf("  lchild:%d rchild:%d\n",T[i].lchild,T[i].rchild);
    }
    printf("哈夫曼编码：\n");
    double wpl=0.0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        printf("id:%d   ch:%c  code:%s\n",i,H[i].ch,H[i].bits);
        wpl+=strlen(H[i].bits)*T[i].weight;
    }
    printf("平均码长为：%.2lf\n",wpl);
    return 0;
}

运行结果：

哈夫曼编码（最优前缀码）