上一节中介绍了 $ \lambda $ 的计算，lambdaMART就以计算的每个doc的 $\lambda$ 值作为label，训练Regression Tree，并在最后对叶子节点上的样本 $lambda$ 均值还原成 $\gamma$ ，乘以learningRate加到此前的Regression Trees上，更新score，重新对query下的doc按score排序，再次计算deltaNDCG以及 $\lambda$ ，如此迭代下去直至树的数目达到参数设定或者在validation集上不再持续变好（一般实践来说不在模型训练时设置validation集合，因为validation集合一般比训练集合小很多，很容易收敛，达不到效果，不如训练时一步到位，然后另起test集合做结果评估）。

其实Regression Tree的训练很简单，最主要的就是决定如何分裂节点。lambdaMART采用最朴素的最小二乘法，也就是最小化平方误差和来分裂节点：即对于某个选定的feature，选定一个值val，所有<=val的样本分到左子节点，>val的分到右子节点。然后分别对左右两个节点计算平方误差和，并加在一起作为这次分裂的代价。遍历所有feature以及所有可能的分裂点val(每个feature按值排序，每个不同的值都是可能的分裂点)，在这些分裂中找到代价最小的。

举个栗子，假设样本只有上一节中计算出 $\lambda$ 的那10个：

 1 qId=1830 features and lambdas 2 qId=1830    1:0.003 2:0.000 3:0.000 4:0.000 5:0.003 6:0.000 7:0.000 8:0.000 9:0.000 10:0.000    lambda(1):-0.495 3 qId=1830    1:0.026 2:0.125 3:0.000 4:0.000 5:0.027 6:0.000 7:0.000 8:0.000 9:0.000 10:0.000    lambda(2):-0.206 4 qId=1830    1:0.001 2:0.000 3:0.000 4:0.000 5:0.001 6:0.000 7:0.000 8:0.000 9:0.000 10:0.000    lambda(3):-0.104 5 qId=1830    1:0.189 2:0.375 3:0.333 4:1.000 5:0.196 6:0.000 7:0.000 8:0.000 9:0.000 10:0.000    lambda(4):0.231 6 qId=1830    1:0.078 2:0.500 3:0.667 4:0.000 5:0.086 6:0.000 7:0.000 8:0.000 9:0.000 10:0.000    lambda(5):0.231 7 qId=1830    1:0.075 2:0.125 3:0.333 4:0.000 5:0.078 6:0.000 7:0.000 8:0.000 9:0.000 10:0.000    lambda(6):-0.033 8 qId=1830    1:0.079 2:0.250 3:0.667 4:0.000 5:0.085 6:0.000 7:0.000 8:0.000 9:0.000 10:0.000    lambda(7):0.240 9 qId=1830    1:0.148 2:0.000 3:0.000 4:0.000 5:0.148 6:0.000 7:0.000 8:0.000 9:0.000 10:0.000    lambda(8):0.24710 qId=1830    1:0.059 2:0.000 3:0.000 4:0.000 5:0.059 6:0.000 7:0.000 8:0.000 9:0.000 10:0.000    lambda(9):-0.05111 qId=1830    1:0.071 2:0.125 3:0.333 4:0.000 5:0.074 6:0.000 7:0.000 8:0.000 9:0.000 10:0.000    lambda(10):-0.061

上表中除了第一列是qId，最后一列是lambda外，其余都是feature，比如我们选择feature(1)的0.059做分裂点，则左子节点<=0.059的doc有: 1, 2, 3, 9；而>0.059的被安排到右子节点，doc有4, 5, 6, 7, 8, 10。由此左右两个子节点的lambda均值分别为：

        $ \bar{\lambda_L}=\frac{\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_9}{4}=\frac{-0.495-0.206-0.104-0.051}{4}=-0.214$

        $\bar{\lambda_R}=\frac{\lambda_4+\lambda_5+\lambda_6+\lambda_7+\lambda_8+\lambda_{10}}{6}=\frac{0.231+0.231-0.033+0.240+0.247-0.061}{6}=0.143$

继续计算左右子节点的平方误差和：

        $s_{L}=\sum_{i\in L}{(\lambda_i-\bar{\lambda_L})^2}=(-0.495+0.214)^2+(-0.206+0.214)^2+(-0.104+0.214)^2+(-0.051+0.214)^2=0.118$

        $s_{R}=\sum_{i\in R}{(\lambda_i-\bar{\lambda_R})^2}=(0.231-0.143)^2+(0.231-0.143)^2+(-0.033-0.143)^2+(0.240-0.143)^2+(0.247-0.143)^2+(0.016-0.143)^2=0.083$

因此将feature(1)的0.059的均方差（分裂代价）是：

        $Cost_{0.059@feature(1)}=s_{L}+s_{R}=0.118+0.083=0.201$

我们可以像上面那样遍历所有feature的不同值，尝试分裂，计算Cost，最终选择所有可能分裂中最小Cost的那一个作为分裂点。然后将 $s_{L}$ 和 $s_{R}$ 分别作为左右子节点的属性存储起来，并把分裂的样本也分别存储到左右子节点中，然后维护一个队列，始终按平方误差和 s 降序插入新分裂出的节点，每次从该队列头部拿出一个节点（并基于这个节点上的样本）进行分裂（即最大均方差优先分裂），直到树的分裂次数达到参数设定（训练时传入的leaf值，叶子节点的个数与分裂次数等价）。这样我们就训练出了一棵Regression Tree。

上面讲述了一棵树的标准分裂过程，需要多提一点的是，树的分裂还有一个参数设定：叶子节点上的最少样本数，比如我们设定为3，则在feature(1)处，0.001和0.003两个值都不能作为分裂点，因为用它们做分裂点，左子树的样本数分别是1和2，均<3。叶子节点的最少样本数越小，模型则拟合得越好，当然也容易过拟合（over-fitting）；反之如果设置得越大，模型则可能欠拟合（under-fitting），实践中可以使用cross validation的办法来寻找最佳的参数设定。

LambdaMART简介——基于Ranklib源码（二 Regression Tree训练）