poj 3111  K Best

有n个物品的重量和价值分别是wi和vi。从中选出k个物品使得单位重量的价值最大。

题解:

1、二分做法

2、牛顿迭代

效率比较：

二分做法：

转换成判断是否存在选取K个物品的集合S满足下面的条件：

sigma(vi) / sigma(wi) >= x   {vi∈S, wi∈S}

-->   simga(vi - x*wi) >= 0

这样我们对  yi= vi - x*wi {1<=i<=n}从大到小排序，计算sum(yi) {1<=i<=k}

如果sum(yi){1<=i<=k}>=0 ，则说明  sigma(vi) / sigma(wi) >= x, 成立。

那么我们只要二分x {注意精度}，就能找到单位重量价值最大的k个物品。 

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 100000 + 10;
const int INF = 1e7;
int v[maxn], w[maxn];
struct node {
    double val;
    int id;
    bool operator < (const node& rhs) const {
        return val > rhs.val;
    }
};

node f[maxn];
int ans[maxn];
int n, k;

//sigma(vi)/sigma(wi) >= x
//-> sigma(vi - x*wi) >= 0
int ok(double x) {
    for(int i=0; i<n; ++i) {
        f[i].val = v[i] - x*w[i];
        f[i].id = i+1;
    }
    sort(f, f+n);
    double sum = 0;
    for(int i=0; i<k; ++i) {
        sum += f[i].val;
        ans[i] = f[i].id;
    }
    return sum >= 0;
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for(int i=0; i<n; ++i) {
        scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
    }

    double l = 0, r = INF;
    //for(int i=0; i<50; ++i) {
    while(r-l>1e-8){
        double mid = (l+r)/2;
        if(ok(mid)) l = mid;
        else r = mid;
    }

    for(int i=0; i<k; ++i) {
        printf("%d", f[i].id);
        if(i<k-1) printf(" ");
        else printf("\n");
    }
    return 0;
}

牛顿迭代

关于牛顿迭代法详见：点击打开链接

先取前k个元素算出S0 =∑(vi/wi) 作为初始值

然后对每一个元素(n个)求yi=vi-s0*wi

对yi从大到小排序，取前k个元素算出S，

重复上面的运算（每次循环后把S的值赋给S0，然后新一轮循环时S有通过S0计算出来），直到fabs(S-S0)<=eps，满足精度要求。

正确性证明：

证明其正确性，只要证明每次迭代的S都比上一次的大即可，也即迭代过程中S是单调递增的，因为给定的是有限集，故可以肯定，S必存在最大值，即该迭代过程是收敛的。下面证明单调性：

假设上轮得到的S1，则在n个元素中必存在k个元素使S1=∑(vi/wi),变形可得到∑vi-S1*∑wi=0，

现对每个元素求yi=vi-S1*wi，可知必存在k个元素使∑yi=∑vi-s1*∑wi=0， 所以当我们按y排序并取前k个元素作为求其∑y时，其∑y>=0，

然后对和式变形即可得到S1=（（∑v-∑y）/∑w）<=（∑v/∑w）=s2，即此迭代过程是∑y是收敛的，当等号成立时，此S即为最大值。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 100000 + 10;
const double eps = 1e-8;

int v[maxn], w[maxn];
struct node {
    double val;
    int v, w;
    int idx;
    bool operator < (const node& rhs) const {
        return val > rhs.val;
    }
};
node f[maxn];
int n, k;

double Get() {
    double sumv = 0, sumw = 0;
    for(int i=0; i<k; ++i) {
        sumv += f[i].v;
        sumw += f[i].w;
    }
    return sumv/sumw;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for(int i=0; i<n; ++i) {
        scanf("%d%d", &f[i].v, &f[i].w);
        f[i].idx = i+1;
    }
    double s1, s2 = Get();
    do {
        s1 = s2;
        for(int i=0; i<n; ++i) {
            f[i].val = f[i].v - s1*f[i].w;
        }
        sort(f, f+n);

        s2 = Get();
    } while(fabs(s2-s1)>=eps);

    for(int i=0; i<k; ++i) {
        printf("%d%c", f[i].idx, " \n"[i==n-1] );
    }
    return 0;
}