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HDU 2686 (双线程) Matrix

这也是当初卡了很久的一道题

题意:从左上角的格子出发选一条路径到右上角然后再回到左上角,而且两条路径除了起点和终点不能有重合的点。问所经过的格子中的最大和是多少

状态设计:我们可以认为是从左上角出发了两条路径,然后同时到达右下角。容易看出,第k个阶段所有可能到达的格子构成一条斜线而且满足x1 + y1 = x2 + y2 = k + 1

dp[k][x1][x2]表示第k阶段两条路分别到达(x1, y1) (x2, y2)所能取得的最大值(y1 y2根据上面的等量关系来计算),如果x1 = x2表示两条路径汇合于一点了

状态转移方程

在求解第k阶段最优解时,首先枚举k-1阶段时的状态(x1‘, x2‘),然后向四个方向延伸出(x1, x2)

dp[k][x1][x2] = max{dp[k-1][x1‘][x2‘] + num[x1][y1] | (x1=x2),  dp[k-1][x1‘][x2‘] + num[x1][y1] + num[x2][y2] | (x1≠x2)}

 

在循环的过程中可能会出现从一个点延伸的下一个点的情况,即两条路径可能重合,不过不要紧,因为格子里面都是正数,所以得到的最优解一定是两条不重合的路径

优化

因为两条路径具有任意性,所以不妨规定第一条路在第二条路的下方(或同一水平线),时间从92MS优化到62MS

第k阶段状态的转移只依赖第k-1阶段的状态,可以用滚动数组(由于原来的空间本不大,所以代码中没有实现滚动数组)

 

 1 //#define LOCAL 2 #include <iostream> 3 #include <cstdio> 4 #include <cstring> 5 using namespace std; 6  7 int dp[70][35][35], num[35][35], n; 8  9 bool islegal(int x, int y)10 {11     return (x>=1 && x<=n && y>=1 && y<=n);12 }13 14 int main(void)15 {16     #ifdef LOCAL17         freopen("2686in.txt", "r", stdin);18     #endif19 20     int i, j, k, d1, d2, x1, x2, y1, y2;21     while(scanf("%d", &n) == 1)22     {23         memset(dp, 0, sizeof(dp));24         for(i = 1; i <= n; ++i)25             for(j = 1; j <= n; ++j)26                 scanf("%d", &num[i][j]);27 28         dp[1][1][1] = num[1][1];29         for(k = 2; k <= 2*n-1; ++k)30         {31             for(i = 1; i <= k - 1; ++i)32                 for(j = 1; j <= i; ++j)33                 {//枚举两条路径在k-1步时的状态34                     for(d1 = 0; d1 <= 1; ++d1)35                         for(d2 = 0; d2 <= 1; ++d2)36                         {//共四个延伸方向37                             x1 = i + d1, y1 = k + 1 - x1;38                             x2 = j + d2, y2 = k + 1 - x2;39                             if(islegal(x1, y1) && islegal(x2, y2))40                             {41                                 if(x1 == x2)42                                     dp[k][x1][x2] = max(dp[k][x1][x2], dp[k-1][i][j] + num[x1][y1]);43                                 else44                                     dp[k][x1][x2] = max(dp[k][x1][x2], dp[k-1][i][j] + num[x1][y1] + num[x2][y2]);45                             }46                         }47                 }48         }49         printf("%d\n", dp[2*n-1][n][n]);50     }51     return 0;52 }
代码君

 

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