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HDU - 233 Matrix

原题地址:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5015

解题思路:一看到题目,感觉是杨辉三角形,然后用组合数学做,不过没想出来怎么做,后来看数据+递推思想,感觉可能是矩阵快速幂,可惜一直不知道a*10+3的 +3怎么处理,果然还是图样图森破啊!如果矩阵能搞出来的话,后面的就简单了,真可惜一直到比赛结束也没想出来,看来这种矩阵的题目做的太少了,真后悔线性代数没有认真学。。

今天晚上又想了一会,完全可以把+3那个放到新的一阶矩阵上,值始终等于3,那么对于233->2333->23333就可以得到矩阵:

1 0

1 10

把这个矩阵和(3,233)相乘就可以得到(3,2333),再乘就得到(3,23333)依次类推。

对于题目中的n,可以构造一个(n+2)*(n+2)的矩阵,可以推出递推矩阵:

1 0 0 0 0.....

1 10 0 0 0...

1 10 1 0 0...

1 10 1 1 0 ...

1 10 1 1 1 ...

前i行的后(i-1)个元素都是0,从第2行开始的每一行的第二个元素都是10,其他都是1。

然后把这个矩阵求p次幂,(用矩阵快速幂)再求出初始向量,最后把向量和刚刚的矩阵快速幂结果相乘,取出结果的最后一个数就是答案啦!

 

  1 #include<stdio.h>  2 #include<math.h>  3 #include<string.h>  4 #include<iostream>  5 #include<algorithm>  6 #define FOR(i,n) for(i=0;i<(n);i++)  7 #define CLR(a) memset(a,0,sizeof(a))  8 #define CIN(a) scanf("%d",&a)  9 using namespace std; 10 #define N 15 11 #define M 15 12 #define K 6 13 using namespace std; 14 typedef long long ll; 15 struct matrix 16 { 17     ll m[N][M]; 18     int row,col; 19 }; 20 matrix A,B,C,ANS; 21 matrix& matrix_mul(matrix &a,matrix &b,ll p,matrix &ans)//a,b矩阵相乘每个数模p 22 { 23     for(int i=0;i<a.row;i++) 24             for(int j=0;j<b.col;j++) 25                 ans.m[i][j]=0; 26     ans.row=a.row; 27     ans.col=b.col; 28     /*for(int i=0;i<a.row;i++) 29         for(int j=0;j<a.col;j++) 30             if(j<a.col-1) 31                 printf("%d ",a.m[i][j]); 32             else printf("%d\n",a.m[i][j]); 33     cout<<endl;*/ 34     for(int i=0;i<a.row;i++) 35         for(int k=0;k<a.col;k++) 36         { 37             for(int j=0;j<b.col;j++) 38                 ans.m[i][j]=(ans.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j])%p; 39         } 40     return ans; 41 } 42 void print(matrix& a) 43 { 44     printf("->%d %d\n",a.row,a.col); 45     for(int i=0;i<a.row;i++) 46         for(int j=0;j<a.col;j++) 47             if(j<a.col-1) 48                 printf("%d ",a.m[i][j]); 49             else printf("%d\n",a.m[i][j]); 50     cout<<endl; 51 } 52 matrix z; 53 matrix &fast_matrixt_mul_mod(matrix &a,int b,ll p,matrix &ans)//矩阵a的b次方模p 54 { 55     for(int i=0;i<N;i++) 56         for(int j=0;j<M;j++) 57         if(i==j)ans.m[i][j]=1; 58         else ans.m[i][j]=0; 59     ans.row=a.row; 60     ans.col=a.col; 61         //cout<<"=="<<endl; 62     while(b) 63     { 64         if(b&1) 65         { 66             b--; 67             ans=matrix_mul(ans,a,p,z);//ans=ans*a%m; 68         } 69         else 70         { 71             b/=2; 72             a=matrix_mul(a,a,p,z);//a=a*a%m; 73         } 74         /*for(int i=0;i<ans.row;i++) 75             for(int j=0;j<ans.col;j++) 76                 if(j<ans.col-1) 77                     printf("%d ",ans.m[i][j]); 78                 else printf("%d\n",ans.m[i][j]); 79         cout<<endl;*/ 80     } 81     return ans; 82 } 83 matrix Mat,vec,ans; 84 #define mod 10000007 85 int main() 86 { 87     int n,p,i,j; 88     while(scanf("%d%d",&n,&p)!=EOF) 89     { 90         vec.row=n+2; 91         vec.col=1; 92         vec.m[0][0]=3; 93         vec.m[1][0]=23; 94         for(i=2;i<=n+1;i++) 95         { 96             scanf("%I64d",&vec.m[i][0]); 97         } 98         Mat.col=Mat.row=n+2; 99         CLR(Mat.m);100         for(i=0;i<=n+1;i++)101         {102             for(j=0;j<=i;j++)103             {104                 if(j!=1)Mat.m[i][j]=1;105                 else Mat.m[i][j]=10;106             }107         }108         //print(Mat);109         fast_matrixt_mul_mod(Mat,p,mod,ans);110         matrix_mul(ans,vec,mod,Mat);111         //print(Mat);112         printf("%I64d\n",Mat.m[n+1][0]);113     }114     return 0;115 }
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