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BZOJ4405 [wc2016]挑战NPC
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本文作者：ljh2000
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Description
小N最近在研究NP完全问题，小O看小N研究得热火朝天，便给他出了一道这样的题目：
有n个球，用整数1到n编号。还有m个筐子，用整数1到m编号。
每个筐子最多能装3个球。
每个球只能放进特定的筐子中。具体有e个条件，第i个条件用两个整数vi和ui描述，表示编号为vi的球可以放进编号为ui的筐子中。
每个球都必须放进一个筐子中。如果一个筐子内有不超过1个球，那么我们称这样的筐子为半空的。
求半空的筐子最多有多少个，以及在最优方案中，每个球分别放在哪个筐子中。
小N看到题目后瞬间没了思路，站在旁边看热闹的小I嘿嘿一笑：“水题！”
然后三言两语道出了一个多项式算法。
小N瞬间就惊呆了，三秒钟后他回过神来一拍桌子：
“不对！这个问题显然是NP完全问题，你算法肯定有错！”
小I浅笑：“所以，等我领图灵奖吧!”
小O只会出题不会做题，所以找到了你——请你对这个问题进行探究，并写一个程序解决此题。
Input
第一行包含1个正整数T，表示有T组数据。
对于每组数据，第一行包含3个正整数n,m,e，表示球的个数，筐子的个数和条件的个数。
接下来e行,每行包含2个整数vi,ui，表示编号为vi的球可以放进编号为ui的筐子。
Output
对于每组数据，先输出一行，包含一个整数，表示半空的筐子最多有多少个。
Sample Input
1
4 3 6
1 1
2 1
2 2
3 2
3 3
4 3
4 3 6
1 1
2 1
2 2
3 2
3 3
4 3
Sample Output
2
HINT
对于所有数据，T≤5，1≤n≤3m。保证 1≤vi≤n,1≤ui≤m，且不会出现重复的条件。
保证至少有一种合法方案,使得每个球都放进了筐子,且每个筐子内球的个数不超过 3。
M<=100
正解：建图+一般图最大匹配（带花树）
解题报告：
这道题明明是一道巧妙建图+一般图最大匹配的模板题，出题人强行卖萌居然说是NPC算法...
我才不会说我学带花树之前也真以为这道题是NPC算法呢...
显然这道题和一般图的最大匹配有关，但是有一定的限制，所以关键在于如何建图，才能使得求出放球的数量<=1的框的数量。
先讲一讲各个部分分吧...
算法一：
测试点1、2范围很小，暴搜即可；
算法二：
当e=nm的时候即每个球都可以放在任意一个框中，那么答案唯一确定，方案的话只要先每个放一个，再一个一个放满，这样构造即可得到最优；
算法三：
测试点4说，存在方案使得m个框均为半空，那么即每个框确保可以最多放一个球，直接连边跑二分图匹配即可；
算法四：
不存在有半空的框的方案，即每一个框都至少有2个球，则把每个框拆成三个跑二分图匹配即可。
最后讲正解辣：把每个框拆成三个，这三个之间互相连边，每个能放入这个框的球再与这三个拆掉的点连边，跑一般图最大匹配，带花树跑完之后得到全图的最大匹配，答案即为$maxMatch-n$。
这是为什么呢？
建图之后，经过观察，对于一个框而言：假如不放球，则最大匹配为1；放入一个球时，最大匹配为2；放入两个球时，最大匹配为2；放入三个球时，最大匹配为3。
容易发现对于每个框而言，不妨设这个框内放的球数为num，那么maxMatch-num即为这个框产生的贡献。这题的关键在于建图，建图好神奇好巧妙啊QAQ。不过我对于带花树的模板还不够熟练，还是要花时间多看一下，加深理解。
ps：这道题有一个很关键的问题：就是我必须从N for到1！我必须先匹配球！因为我需要保证球先被匹配，如果我先匹配框的话的确可以保证总匹配数不变，但是有一些框就和另一些框匹配了，而球却落单了。这个问题如果不注意的话只有40分...
//It is made by ljh2000
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 1211;
const int MAXM = 1000011;
int N,n,m,E,ecnt,first[MAXN],to[MAXM],next[MAXM],match[MAXN],pre[MAXN],vis[MAXN],Tim,dui[MAXM],head,tail,id[MAXN],Match,father[MAXN],ans;
inline void link(int x,int y){ next[++ecnt]=first[x]; first[x]=ecnt; to[ecnt]=y; next[++ecnt]=first[y]; first[y]=ecnt; to[ecnt]=x; }
inline int find(int x){ if(father[x]!=x) father[x]=find(father[x]); return father[x]; }
inline int getint(){
int w=0,q=0; char c=getchar(); while((c<‘0‘||c>‘9‘) && c!=‘-‘) c=getchar();
if(c==‘-‘) q=1,c=getchar(); while (c>=‘0‘&&c<=‘9‘) w=w*10+c-‘0‘,c=getchar(); return q?-w:w;
}
inline int lca(int x,int y){
Tim++;
while(vis[x]!=Tim) {
if(x){
x=find(x);
if(vis[x]==Tim) return x;
vis[x]=Tim;
if(match[x]!=0) x=find(pre[match[x]]);//!!!
else x=0;
}
swap(x,y);
}
return x;
}
inline void change(int x,int y,int k){
while(find(x)!=k) {
pre[x]=y; int z=match[x];//!!!
if(id[z]==1) { id[z]=0; dui[++tail]=z; }
if(find(z)==z) father[z]=k;
if(find(x)==x) father[x]=k;
y=z; x=pre[y];
}
}
inline bool bfs(int s){
for(int i=1;i<=N;i++) id[i]=-1,father[i]=i; head=tail=0;
dui[++tail]=s; id[s]=0; int u;
while(head<tail) {
head++; u=dui[head];
for(int i=first[u];i;i=next[i]) {
int v=to[i];
if(id[v]==-1) {
pre[v]=u; id[v]=1;
if(!match[v]) {
int last,t,now=v;
while(now!=0) {
t=pre[now]; last=match[t];
match[t]=now; match[now]=t;
now=last;
}
return true;
}
id[match[v]]=0; dui[++tail]=match[v];
}
else if(id[v]==0/*!!!*/ && find(u)!=find(v)) {
int g=lca(u,v);
change(u,v,g);
change(v,u,g);
}
}
}
return false;
}
inline void work(){
int T=getint(); int x,y;
while(T--) {
n=getint(); m=getint(); E=getint(); ecnt=0; memset(first,0,sizeof(first));
for(int i=1;i<=E;i++) {
x=getint(); y=getint(); x+=3*m;
link(x,(y-1)*3+1);
link(x,(y-1)*3+2);
link(x,(y-1)*3+3);
}
for(int i=1;i<=m;i++) {//每个框内部连边
int base=(i-1)*3+1;
link(base,base+1);
link(base,base+2);
link(base+1,base+2);
}
N=n+3*m; memset(match,0,sizeof(match)); memset(pre,0,sizeof(pre));
Tim=0; memset(vis,0,sizeof(vis)); Match=0;//!!!
for(int i=N;i>=1;i--) if(!match[i] && bfs(i)) Match++;
ans=Match-n;
printf("%d\n",ans);
}
}
int main()
{
work();
return 0;
}
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