为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
  k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：

k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1

好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：

 1 #include <stdio.h>
 2 int main()
 3 {
 4     int n, m, i, s = 0;
 5     printf ("N M = ");
 6     scanf("%d%d", &n, &m);
 7     for (i = 2; i <= n; i++)
 8     {
 9         s = (s + m) % i;
10     }
11     printf ("\nThe winner is %d\n", s+1);
12 }

这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。

相比之下，解法二的优越性不言而喻，同时说明数学确实很重要。

在问题的基础上再演变一下，如果是n 个人(编号 1...n),先去掉第 m 个数,然后从 m+1 个开始报 1,报到 k 的退出,剩下的人继续从 1 开始报数.求胜利者的编号.  

int main(void){

    int  n, k, m;

    while( scanf("%d%d%d", &n, &k, &m), n || k || m ){

   int  i, d, s=0;

        for( i=2; i <= n; ++i ) s = (s+k)%i;

        k = k%n; if( k == 0 ) k=n;

        d = (s+1) + (m-k);//首先去掉的m可以看成是从m-k+1（较1偏移为m-k）开始报数

        if( d >= 1 && d <= n ) printf("%d\n", d);

        else if( d < 1 ) printf("%d\n", n+d);

        else if( d > n ) printf("%d\n", d%n);

    }

    return 0;

}

约瑟夫环