【设计一个动态规划算法的四个步骤】

1、刻画一个最优解的特征。 （最优子结构？！）

2、递归地定义最优解的值。

3、计算最优解的值，通常采用自底向上方法。

4、利用计算出的信息构造一个最优解。

适合动态规划方法求解的最优化问题需要具备的两个性质：

【最优子结构（optimal substructure）】

问题的最优解由相关子问题的最优解组合而成，而这些子问题可以独立求解。（动态规划具体实现之处）

【重叠子问题（overlapping subproblem）】

如果递归算法反复求解相同的子问题，我们就称最优化问题具有重叠子问题性质。（动态规划实现优化之处）

【动态规划两种等价实现方法】

1、 带备忘的自顶向下法（top-down with memoizatioin）

2、自底向上方法（bottom-up method）

问题一：钢条切割

背景：长度为i的钢条价格为p[i]，长为n的钢条的怎么切割有最大收益。

长度i：   1234 5 6789 10

价格p[i]: 1589 10 17172024 30

方案：

收益r[i] = max(p[j],r[i-j])，j：[1,i]**********************************************（2）

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <vector>

#define MAXINT 0x7FFFFFFF
#define MININT -(signed int)MAXINT - 1

using namespace std;

int bottom_up_cut_rod( int *p, int n, int *s );
int bp_cut_rod(vector<int> &vPrices, vector<int> &vCuts);
void output_cut_rod_solution(vector<int> &vPrices, vector<int> &vCuts);
int main( void )
{
	cout << "********最大值/最小值******************" << endl; 
	cout << MAXINT << endl;
	cout << MININT << endl;

	cout << "********动态规划：钢条切割最大收益*****" << endl;
	int p[] = { 0, 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30 };
	int n = sizeof( p ) / sizeof( int ) - 1;
	//cout << sizeof( p ) / sizeof( int ) << endl; // 输出11，sizeof(p),p为数组，为总大小44
	
	vector<int> vPrices(p, p + n + 1);
	vector<int> vCuts(n + 1);

	output_cut_rod_solution(vPrices, vCuts);
	cout << "最优解总数据：" << endl;
	for( int i = 0; i <= n; ++i )
		cout << vCuts[i] << " ";
	cout << endl;

	
	return 0;
}

/*
 * 动态规划算法——自底向上计算：钢条切割，求切为多长为最优解。
 * i = j + (i -j)，即将长度为i的钢条分割为长度为j(整段)、长度为i - j（再分割段）的两段，
 * j = [1,i],即只且长为1的，至整段出售；而i - j在之前（bottom_up）已经计算。
 * rod[r?d] n. 棒 —— cut rod
 *
 * 输出参数：int *s     输出参数，存储最优解
 * 返回值  ：int	    长度为n的棒，最大收益
 * 
 */
int bp_cut_rod(vector<int> &vPrices, vector<int> &vCuts)
{
	vector<int>::size_type n = vPrices.size() - 1;
	vector<int> vRods(n + 1); // 长为i的最优价值
	// vRods.reserve(n + 1); // 此时如果直接访问，会报错；因为只是预留空间，并未初始化。
	vRods[0] = 0;

	for (vector<int>::size_type i = 1; i <= n; i += 1){ // 求长为i的最优收益
		int iSum = 0;
		int iVal = 0;
		for (vector<int>::size_type j = 1; j <= i; j += 1){
			iSum = vPrices[j] + vRods[i - j];
			if (iSum > iVal){
				iVal = iSum;
				vCuts[i] = j; // 记录最优解
			}
		}
		vRods[i] = iVal;
	}
	return vRods[n];
}

void output_cut_rod_solution(vector<int> &vPrices, vector<int> &vCuts)
{
	cout << "最优价值：" << bp_cut_rod(vPrices, vCuts) << endl;
	cout << "最优解：" << endl;
	
	int n = vCuts.size() - 1;
	while (n > 0){
		cout << vCuts[n] << endl;
		n -= vCuts[n];
	}
}

int bp_cut_rod(vector<int> &vPrices, vector<int> &vCuts) *******************************（3）

其内层for循环的迭代次数构成一个等差数列，所以运行时间复杂度为O(n^2)。

void output_cut_rod_solution(vector<int> &vPrices, vector<int> &vCuts) *******************（4）

MIT：算法导论——15.动态规划