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《算法导论》中动态规划求解钢条切割问题
动态规划算法概述
动态规划(dynamic programming)1是一种与分治方法很像的方法,都是通过组合子问题的解来求解原问题。不同之处在于,动态规划用于子问题重叠的情况,比如我们学过的斐波那契数列。在斐波那契数列的求解问题中,我们经常要对一个公共子问题进行多次求解,而动态规划算法,则对每个子问题只求解一次,将其解保存在一个表格中,从而避免了大量的冗余计算量。
动态规划算法常用于寻找最优解问题(optimization problem)。而其规划大概可分为四步:
1.刻画一个最优解的结构特征。
2.递归的定义最优解的值。
3.计算最优解的值。
4.利用计算出的信息构造一个最优解2。
我们将以《算法导论》中的一个习例作为展示的对象,讲解动态规划算法的应用方法。
钢条切割问题
现有某公司,购买长钢条以切割成短钢条出售。若不计切割成本,请求出如何切割以使公司利益最大。该公司短钢条售价如下:
长度:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
价格:1 5 8 9 10 17 20 24 30
现假设一段钢条的长度为n,我们可以试求当 n = 4时,我们能获得的最大收益。此时,我们对于第一次分割有5种选择(0,1,2,3,4),以此类推,对于n = 4的情况,我们一共有8种情形:(4),(1,3),(2,2),(3,1),(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1),(1,1,1,1)。易算得,最高价值为(2,2)情况下取得,最高收益为10.
那么,我们如何用函数来描述这一过程呢?首先,我们可以假设第一次切割所得的第一部分钢条长度为x (属于[0,n])。则我们现在有了两根钢条,一根长为x,另一根长为 n - x。那么长为n的钢条所得利益的最优解就来自于长为x 和 n - x两段钢条最优解的和。如此划分,即可将问题逐步化简为一个个子问题,以R来表示公司所得利益,P来表示钢条单价,则有R对n的函数:
Rn = max(Px + R(n - x))。
普通递归方法实现
可以看出上述公式是一个很明显的递归函数,我们很容易就可以得到下列代码:
1 #include<iostream> 2 #include<vector> 3 #include<algorithm> 4 #define null -1 5 using namespace std; 6 7 int cut_rod(int n, vector<int> p) { 8 if (n == 0) return 0; 9 int q = null; 10 for (int i = 1; i <= n; i++) { 11 q = max(q , p[i-1] + cut_rod(n - i, p) ); 12 } 13 return q; 14 } 15 16 int main() { 17 cout << "输入产品各段数所对应的价格(从小到大)" << endl; 18 int n = 0; 19 vector<int> p; 20 while (cin >> n && n != null) { //输入-1表示停止 21 p.push_back(n); 22 n = 0; 23 } 24 vector<int> results(p.size() + 1, null); //在result中创建n + 1个元素([0,n]共n+1个),并统一赋值为null 25 cout << "请输入所需切割钢材长度" << endl; 26 cin >> n; 27 cout << cut_rod(n, p); 28 //cout << memo_cut_rod(n, p, results); 29 //cout << bot_cut_rod(n, p, results); 30 return 0; 31 }
我们已在斐波那契数列的学习中证明了,这种算法的缺点是很明显的,随着递归的深入,其计算量会爆炸性的增长。易得其时间复杂度 : T = 2N。
那么我们要怎么利用动态规划的方法来进行简便运算呢?方法有两种:一种称之为带备忘的自顶向下法(top-down with memoization3),另一种则是自底向上法(bottom-up method)。
带备忘的自顶向下法
此方法与正常的递归方法并无太大区别,但在过程中,每一个子问题的解都会被保存下来,在每次求解之前都会验证是否已经对该子问题进行了求解,若是,则直接返回保存的值;不是,再进行正常运算。据此理论,易得代码:
1 int memo_cut_rod(int n, vector<int> p, vector<int> results) { 2 if (results[n] > 0) return results[n]; 3 if (n == 0) return 0; 4 int q = null; 5 for (int i = 1; i <= n; i++) { 6 q = max(q, p[i - 1] + memo_cut_rod(n - i, p,results)); 7 } 8 return q; 9 } 10 11 12 int main() { 13 cout << "输入产品各段数所对应的价格(从小到大)" << endl; 14 int n = 0; 15 vector<int> p; 16 while (cin >> n && n != null) { //输入-1表示停止 17 p.push_back(n); 18 n = 0; 19 } 20 vector<int> results(p.size() + 1, null); //在result中创建n + 1个元素([0,n]共n+1个),并统一赋值为null 21 cout << "请输入所需切割钢材长度" << endl; 22 cin >> n; 23 //cout << cut_rod(n, p); 24 cout << memo_cut_rod(n, p, results); 25 return 0; 26 }
自底向上法
自底向上法采用了与正常递归相似的顺序,但免除了从顶到下的过程以及冗余的计算,直接从最小问题算起,最后构成最优解。其代码如下:
int bot_cut_rod(int n,vector<int> p,vector<int> results) { results[0] = 0; for (int j = 1; j <= n; ++j) { int q = null; for (int i = 1; i <= j; ++i) { q = max(q, p[i -1] + results[j - i]); } results[j] = q; } return results[n]; }
总结
自底向上法与带备忘的自顶向下法具有相同的渐进运行时间,两者的时间复杂度都为 T = n2。相比之前的2n强了太多。而使用动态规划算法的重中之重,是找好问题划分的方法,将问题一步一步化简到最小,把大问题化简成一个个小问题,小问题往往比大问题好解的多,最后再由小问题推导出大问题的答案,就算是大功告成了。
注释:
1.此处的programming是指一种表格法,而非编程
2.当我们仅仅需要一个最优解的值的时候,我们往往可以省略掉第4步。
3.此处并非拼写错误,确实为memoization,而非memorization。前者源自memo,为备忘之意。
参考文献:
《算法导论》
《算法导论》中动态规划求解钢条切割问题