概率论（https://ruanx.pw/post/%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA.html）

离散型概率入门

计算方法

首先，我们来讨论一个最原始的问题：抛一个质地均匀的硬币，抛中正面的几率是多大？
显然50%50%。

那么问题加深一番：抛两个质地均匀的硬币，都抛中正面的几率是多大？
显然25%25%。

进一步，抛nn个硬币，全都正面朝上的几率是0.5×0.5×0.5?=0.5n0.5×0.5×0.5?=0.5n.
如何理解这个概率？全部正面朝上，显然要求第一个朝上、第二个朝上……所有的要求都满足的时候，事件就达成了。

由此总结出乘法法则：

但是乘法法则显然不是万能的。我们总会遇到一些乘法法则不好用的情况。
还是抛nn次硬币。问恰好mm次正面朝上的概率。

这时候乘法法则就不太好用了。你要钦定哪些时候抛中11，大大增加计算量。 
换一种思路。考虑所有可能的情况，共有2n2n中；恰好抛中mm个的情况有CmnCnm种。故总概率是：
P(抛中m个)=Cmn2nP(抛中m个)=Cnm2n.

这就是计数法则：

例题：Link的游戏

Link很喜欢提交vijos某道题。他的程序随机生成答案，已知对于每个测试点，正确的几率是0.50.5.共有1010个测试点，求Link通过99个测试点的概率。

考虑所有可能情况共10241024种，其中恰好错掉一个点的情况共1010种。 
故有：P(通过9个点)=101024P(通过9个点)=101024.

常识

概率为00的事件可能发生；概率为11的事件可能不发生。
一个例子：从数轴[0,1][0,1]上随机取一个实数，取到0.50.5的概率是00，但是它可能发生。

实际上，在概率论中，一个事件的概率为00，表示它几乎一定不发生。

数学期望

数学期望是指：对于每个可能发生的事件xx，对答案造成w(x)×P(x)w(x)×P(x)的贡献。
其中w(x)w(x)是xx的价值，P(x)P(x)是xx发生的概率。

计算方法

扔硬币一次。记抛中正面为得一分，反面不得分。求得分的期望。

依据定义，我们可以得到答案： 
- 抛中正面，对答案的贡献是1×0.5=0.51×0.5=0.5. 
- 抛中反面，对答案的贡献是0×0.5=00×0.5=0.

故最终答案为：E=0.5E=0.5

进一步，我们扔硬币nn次，求得分的期望。 
由于每次抛硬币都会对答案造个0.50.5的贡献，所以E=0.5nE=0.5n.

我们好像发现了世界的奥秘…… 
期望的线性性质：

有了这个性质，我们可以大大简化计算。 
考虑一个事件，每次尝试都有pp的概率做成。问期望尝试多少次，可以把事情做成。

我们定义“完成度”：完全完成是11，完全不完成是00.那么每次尝试，完成度的期望都是pp. 
假设期望尝试cc次，则根据期望的线性性质有：c⋅p=1c⋅p=1，故c=1pc=1p.

连续型概率入门

上面的例子，可能发生的事情种类是有限的，我们可以直接枚举所有情况进行计算，例如古典概型。

但是还有些问题，例如几何概型，可能发生的事情种类是无限的！

• 从数轴[0,1][0,1]上随机取一个实数xx，求xx的期望。
• 从1×11×1的正方形内随机取三个点，求围成三角形面积的期望。
• ......

面对这种情况，我们已经不能枚举所有的情况，所以开始寄希望于微积分。

考虑黎曼积分的原始形式：将定义域分为很多份，对每一份构成矩形来求面积。

假设我们从数轴[0,1][0,1]上随机取一个实数xx，求xx的期望。

我们在[0,1][0,1]做nn个等距的点，并且规定只能在这些点上取。那么取到每个点的概率都是1n1n. 
考虑取xx的价值，显然是w(x)=xw(x)=x.因此第ii个点的价值是1n⋅i=in1n⋅i=in.因此期望是：
E(x)≈∑i=1n1n⋅in=∑ni=1in2=n+12n=12+12nE(x)≈∑i=1n1n⋅in=∑i=1nin2=n+12n=12+12n.

显然，我们将点取得越多，这个结果就越精确。当点取到无限多时，上面的结果已经无限接近于真实情况。故最后的答案是： 
E(x)=limn→∞(0.5+12n)=0.5E(x)=limn→∞(0.5+12n)=0.5.

上面的求解方式已经相当类似于微积分的表述了。类似地，我们总结出一般规律：

微积分博大精深。

概率论，简要数学期望（转载）