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BZOJ - 1010【斜率优化DP】

2024-09-02 15:30:13   217人阅读

1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

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Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

题解：很朴素的n^2DP是显然的，设dp[i]为完成前i个任务的最小花费 。

则dp[i] = min(dp[j] + (sum[i]-sum[j]+i-j-1-L)^2);但是会超时的，就去学了斜率优化。具体见博客。

代码：

技术分享 
 1 /**************************************************************
 2     Problem: 1010
 3     User: Jstyle
 4     Language: C++
 5     Result: Accepted
 6     Time:176 ms
 7     Memory:2844 kb
 8 ****************************************************************/
 9  
10 #include <iostream>
11 #include <algorithm>
12 #include <cstring>
13 #include <cstdlib>
14 #include <cstdio>
15 #include <bitset>
16 #include <vector>
17 #include <queue>
18 #include <stack>
19 #include <cmath>
20 #include <list>
21 #include <set>
22 #include <map>
23 #define rep(i,a,b) for(int i = a;i <= b;++ i)
24 #define per(i,a,b) for(int i = a;i >= b;-- i)
25 #define mem(a,b) memset((a),(b),sizeof((a)))
26 #define FIN freopen("in.txt","r",stdin)
27 #define FOUT freopen("out.txt","w",stdout)
28 #define IO ios_base::sync_with_stdio(0),cin.tie(0)
29 #define mid ((l+r)>>1)
30 #define ls (id<<1)
31 #define rs ((id<<1)|1)
32 #define N 50005
33 #define INF 0x3f3f3f3f
34 #define INFF ((1LL<<62)-1)
35 typedef long long LL;
36 using namespace std;
37  
38 LL n, q[N],L, a[N], dp[N], sum[N];
39  
40 double cal(int x, int y){       
41     return (dp[x]-dp[y]+sum[x]*sum[x]-sum[y]*sum[y])*1.0/(sum[x]-sum[y]);
42 }
43 void Init(){
44     mem(dp, 0);
45     mem(sum, 0);
46 }
47 int main()
48 {IO;
49     //FIN;
50     while(cin >> n >> L){
51         Init();
52         rep(i, 1, n){
53             cin >> a[i];
54             sum[i] = sum[i-1] + a[i] + 1;
55         }
56         int l = 0, r = 0;
57         rep(i, 1, n){
58             while(l < r && cal(q[l], q[l+1]) <= 2*(sum[i]-1-L))   l++;
59             int id = q[l];
60             dp[i] = dp[id]+(sum[i]-sum[id]-1-L)*(sum[i]-sum[id]-1-L);
61             while(l < r && cal(q[r], i) < cal(q[r-1], q[r]))  r--;
62             q[++r] = i;
63         }
64         cout << dp[n] << endl;
65     }
66     return 0;
67 }
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