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bzoj 1010 玩具装箱toy -斜率优化

  P教授要去看奥运,但是他舍不下他的玩具,于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩,其可以将任意物品变成一堆,再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具,第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理,P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具,那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物,形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中,那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关,根据教授研究,
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目,他可以制作出任意长度的容
器,甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

  第一行输入两个整数N,L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

  输出最小费用

Sample Input

5 434214

Sample Output

1

  先推出普通dp的方程    f[i] = min{f[j] + (sum[i] - sum[j] + i - j - 1 - L)2}

  这方程明显是O(n2)级别的,再看看这卖萌的数据范围,不用质疑,铁定超时。还是来考虑一下优化(例如斜率优化)吧。由于这方程长得太丑了,于是决定简化一下

  设S(i) = sum[i] + i,C = L + 1

  于是方程变成了这样    f[i] = min{f[j] + (S(i) - S(j) - C)2}

  现在假设在状态i之前有两个可以转移到i的两个状态j, k(j < k),现在使j比k更优,那么它要满足

f[j] + (S(i) - S(j) - C)2 < f[k] + (S(i) - S(k) - C)2 

  看平方不爽,而且无法化简,果断完全平方公式拆掉

f[j] + [S(i) - (S(j) + C)]2 < f[k] + [S(i) - (S(k) + C)]2

f[j] + (S(j) + C)2 - 2S(i)[S(j) + C] < f[j] + (S(k) + C)2 - 2S(i)[S(k) + C]

  (其实可以一起拆掉,只不过中途有些地方可以直接"抵消")继续"拆"括号,移项

f[j] + S(j)2 + 2S(j)C - 2S(i)[S(j) - S(k)] < f[k] + S(k)2 + 2S(k)C

  继续,右边只留一个和i有关的单项式

(f[j] + S(j)2 + 2S(j)C) - (f[k] + S(k)2 + 2S(k)C) < 2S(i)[S(j) - S(k)]

  继续移项,右边只留和i有关的式子

技术分享

   注意,S(i)是单调递增,所以S(j) - S(k) < 0,移项的时候不等号方向相反,于是我们愉快地得到了斜率方程(干什么?斜率优化去掉一个n)。

  对于点i,用(f[i] + S(i)2 + 2S(i)C)作纵坐标,2S(i)作横坐标。

Code

  1 /**  2  * uva  3  * Problem#1451  4  * Accepted  5  * Time:60ms  6  */  7 #include<iostream>  8 #include<sstream>  9 #include<cstdio> 10 #include<cmath> 11 #include<cstdlib> 12 #include<cstring> 13 #include<cctype> 14 #include<queue> 15 #include<set> 16 #include<map> 17 #include<stack> 18 #include<vector> 19 #include<algorithm> 20 using namespace std; 21 typedef bool boolean; 22 #define smin(a, b) (a) = min((a), (b)) 23 #define smax(a, b) (a) = max((a), (b)) 24 template<typename T> 25 inline void readInteger(T& u){ 26     char x; 27     int aFlag = 1; 28     while(!isdigit((x = getchar())) && x != -); 29     if(x == -){ 30         aFlag = -1; 31         x = getchar(); 32     } 33     for(u = x - 0; isdigit((x = getchar())); u = u * 10 + x - 0); 34     ungetc(x, stdin); 35     u *= aFlag; 36 } 37  38 template<typename T> 39 class IndexedDeque{ 40     public: 41         T* list; 42         int pfront; 43         int prear; 44         IndexedDeque():list(NULL), pfront(0), prear(0){        } 45         IndexedDeque(int size):pfront(0), prear(0){ 46             list = new T[size]; 47         } 48         void push_front(T x){    list[--pfront] = x;        } 49         void push_back(T x)    {    list[prear++] = x;        } 50         void pop_front()    {    ++pfront;                } 51         void pop_back()        {    --prear;                } 52         T     front()        {    return list[pfront];    } 53         T     rear()            {    return list[prear - 1];        } 54         T& operator [](int pos){            return list[pfront + pos];        } 55         int size()            {    return prear - pfront;    } 56 }; 57  58 int T; 59 int n, L; 60 int* sum; 61 char* str; 62 IndexedDeque<int> que; 63  64 inline int segsum(int from, int end){    return sum[end] - sum[from - 1];    } 65 inline int cmpSlope(int l1, int r1, int l2, int r2){    return (segsum(l1, r1) * (r2 - l2 + 1)) - (segsum(l2, r2) * (r1 - l1 + 1)); } 66  67 inline void init(){ 68     readInteger(n); 69     readInteger(L); 70     str = new char[(const int)(n + 1)]; 71     sum = new int[(const int)(n + 1)]; 72     que = IndexedDeque<int>(n * 2); 73     scanf("%s", str); 74 } 75  76 inline void solve(){ 77     sum[0] = 0; 78     for(int i = 0; i < n; i++) 79         sum[i + 1] = sum[i] + str[i] - 0; 80      81     int resl = 1, resr = L; 82     for(int i = L; i <= n; i++){ 83         while(que.size() > 1 && cmpSlope(que[que.size() - 2], i - L, que[que.size() - 1], i - L) >= 0) 84             que.pop_back(); 85         que.push_back(i - L + 1); 86         while(que.size() > 1 && cmpSlope(que[0], i, que[1], i) <= 0) 87             que.pop_front(); 88          89         int temp = cmpSlope(que.front(), i, resl, resr); 90         if(temp > 0 || (temp == 0 && resr - resl > i - que.front())){ 91             resl = que.front(), resr = i; 92         } 93     } 94     printf("%d %d\n", resl, resr); 95 } 96  97 inline void clear(){ 98     delete[] sum; 99     delete[] str;100     delete[] que.list;101 }102 103 int main(){104     readInteger(T);105     while(T--){106         init();107         solve();108         clear();109     }110     return 0;111 } 

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