背包九讲原文：

题目

有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本算法

这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有n[i]+1种策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值，则有状态转移方程：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}

复杂度是O(V*Σn[i])。

转化为01背包问题

另一种好想好写的基本方法是转化为01背包求解：把第i种物品换成n[i]件01背包中的物品，则得到了物品数为Σn[i]的01背包问题，直接求解，复杂度仍然是O(V*Σn[i])。

但是我们期望将它转化为01背包问题之后能够像完全背包一样降低复杂度。仍然考虑二进制的思想，我们考虑把第i种物品换成若干件物品，使得原问题中第i种物品可取的每种策略——取0..n[i]件——均能等价于取若干件代换以后的物品。另外，取超过n[i]件的策略必不能出现。

方法是：将第i种物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为 1,2,4,...,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，如果n[i]为13，就将这种 物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品。

分成的这几件物品的系数和为n[i]，表明不可能取多于n[i]件的第i种物品。另外这种方法也能保证对于0..n[i]间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示，这个证明可以分0..2^k-1和2^k..n[i]两段来分别讨论得出，并不难，希望你自己思考尝试一下。

这样就将第i种物品分成了O(log n[i])种物品，将原问题转化为了复杂度为<math>O(V*Σlog n[i])的01背包问题，是很大的改进。

下面给出O(log amount)时间处理一件多重背包中物品的过程，其中amount表示物品的数量：

procedure MultiplePack(cost,weight,amount)

    if cost*amount>=V

        CompletePack(cost,weight)

        return

    integer k=1

    while k<amount

        ZeroOnePack(k*cost,k*weight)

        amount=amount-k

        k=k*2

    ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight)

希望你仔细体会这个伪代码，如果不太理解的话，不妨翻译成程序代码以后，单步执行几次，或者头脑加纸笔模拟一下，也许就会慢慢理解了。

O(VN)的算法

多重背包问题同样有O(VN)的算法。这个算法基于基本算法的状态转移方程，但应用单调队列的方法使每个状态的值可以以均摊O(1)的时间求解。由于用单调队列优化的DP已超出了NOIP的范围，故本文不再展开讲解。我最初了解到这个方法是在楼天成的“男人八题”幻灯片 上。

附HDU 1059题Dividing，采用二进制优化的多重背包问题：

 1 #include <stdio.h> 2 #include <stdlib.h> 3 #include <string.h> 4  5 int num[7]; 6 int dp[20000*8]; 7  8 int main() 9 {10 11     int i,j,k,nowv,sum,m;12 13     m = 0;14     while(scanf("%d",&num[1]) != EOF)15     {16         m++;17         sum = num[1];18         memset(dp,0,sizeof(dp));19         for(i=2;i<=6;i++)20         {21             scanf("%d",&num[i]);22             sum += num[i]*i;23         }24         if(sum == 0)return -1;25         /*if(m > 1)printf("\n");*/26         printf("Collection #%d:\n",m);27         if(sum&1)28         {29             printf("Can‘t be divided.\n\n");30             continue;31         }32         dp[0] = 1;33         for(i=1;i<=6;i++)34         {35             if(!num[i])continue;36             for(k=1; k<=num[i]; k=k*2)37             {38                 nowv = k*i;39                 for(j=sum/2; j>=nowv; j--)40                     if(dp[j-nowv])41                         dp[j]=1;42                 num[i] -= k;43             }44             nowv = num[i]*i;  /*the rest number of num[i]*/45             if(nowv){46                 for(j=sum/2; j>=nowv; j--)47                     if(dp[j-nowv])48                         dp[j]=1;49             }50         }51         dp[sum/2]?printf("Can be divided.\n\n"):printf("Can‘t be divided.\n\n");52     }53     return 0;54 }

　　代码是参考了网上代码。其中比较需要记录的是，puts输出会自动在字符串末尾添加换行符，而printf不会。添加注释的那一行代码以下的代码都是为了对拆分过程剩下的不是2的次方的数进行处理，例如13拆成1+2+4+6；最后的6是不能由k直接每次乘以2得到，所以要另外处理。

背包九讲之多重背包