如何用牛顿法求一个数的平方根
2024-07-22 10:47:19 217人阅读
SCIP 1.1.7的一个练习。
牛顿迭代法(Newton‘s method)又称为牛顿-拉夫逊方法(Newton-Raphson method),它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式,因此求精确根非常困难,甚至不可能,从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法老品牌娱乐城是求方程根的重要方法之一,其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛,而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。
设r是f(x) = 0的根,选取x0作为r初始近似值,过点(x0,f(x0))做曲线y = f(x)的切线L,L的方程为y = f(x0)+f‘(x0)(x-x0),求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f‘(x0),称x1为r的一次近似值。
过点(x1,f(x1))做曲线y = f(x)的切线,并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f‘(x1),称x2为r的二次近似值。重复以上过程,得r的近似值序列,其中x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f‘(x(n)),称为r的n+1次近似值,上式称为牛顿迭代公式。
根据牛顿迭代的原理,可以得到以下的迭代公式:X(n+1)=[X(n)+p/Xn]/2
一般性的编程方法如下:
3 | while ( abs (k*k-n)>1e-9) { |
求n的平方根,先随便取一个不是0的数作为迭代开始的x(0),例如最简单的x(0)=1,然后反复代入x(k+1) = 0.5[x(k)+n/x(k)]求得下一个x,代入次数越多解约精确。
例如,2的平方根:
- x(0) = 1
- x(1) = (1/2)(1+2/1) = 3/2 = 1.5
- x(2) = (1/2)[3/2+2/(3/2)] = 17/12 = 1.41666667
- x(3) = (1/2)[17/12 + 2/(17/12)] = 577/408 = 1.41421568…
就这样,反复代入上式计算,得到的值越来越精确。
或者这么解释:
- 对x的平方根的值一个猜想y。
- 通过执行一个简单的操作去得到一个更好的猜测:只需要求出y和x/y的平均值(它更接近实际的平方根值)。
例如,可以用这样方式去计算2的平方根。
猜想 | 商 | 平均值 |
1 | 2/1=2 | (2+1)/2 = 1.5 |
1.5 | 2/1.5=1.3333 | (1.3333+1.5)/2 = 1.4167 |
1.4167 | 2/1.4167=1.4118 | (1.4167+1.4118)/2=1.4142 |
1.4142 | ... | ... |
继续这一计算过程,我们就能得到对2的平方根的越来越好的近似值。
下面用C语言实现一遍:
08 | printf ( "请输入一个需要求其平方根的数:" ); |
12 | while ( fabs ((1.0/2.0*(y+n/y))-y)>=0.00001) |
15 | printf ( "y=%lf\n" , y ); |
程序运行结果:
PS:Quake III公开源码后,有人在game/code/q_math.c里发现了这样一段代码。它的作用是将一个数开平方并取倒,经测试这段代码比(float)(1.0/sqrt(x))快4倍,有兴趣的可以研究一下。不过这是后话了,
01 | float Q_rsqrt( float number ) |
05 | const float threehalfs = 1.5F; |
09 | i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); |
11 | y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); |
如何用牛顿法求一个数的平方根
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