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如何用牛顿法求一个数的平方根

SCIP 1.1.7的一个练习。

牛顿迭代法(Newton‘s method)又称为牛顿-拉夫逊方法(Newton-Raphson method),它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式,因此求精确根非常困难,甚至不可能,从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法老品牌娱乐城是求方程根的重要方法之一,其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛,而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。

设r是f(x) = 0的根,选取x0作为r初始近似值,过点(x0,f(x0))做曲线y = f(x)的切线L,L的方程为y = f(x0)+f‘(x0)(x-x0),求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f‘(x0),称x1为r的一次近似值。

过点(x1,f(x1))做曲线y = f(x)的切线,并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f‘(x1),称x2为r的二次近似值。重复以上过程,得r的近似值序列,其中x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f‘(x(n)),称为r的n+1次近似值,上式称为牛顿迭代公式。

根据牛顿迭代的原理,可以得到以下的迭代公式:X(n+1)=[X(n)+p/Xn]/2

一般性的编程方法如下:

1double sqr(double n) {
2    double k=1.0;
3    while(abs(k*k-n)>1e-9) {
4        k=(k+n/k)/2;
5    }
6    return k;
7}

求n的平方根,先随便取一个不是0的数作为迭代开始的x(0),例如最简单的x(0)=1,然后反复代入x(k+1) = 0.5[x(k)+n/x(k)]求得下一个x,代入次数越多解约精确。

例如,2的平方根:

  • x(0) = 1
  • x(1) = (1/2)(1+2/1) = 3/2 = 1.5
  • x(2) = (1/2)[3/2+2/(3/2)] = 17/12 = 1.41666667
  • x(3) = (1/2)[17/12 + 2/(17/12)] = 577/408 = 1.41421568…

就这样,反复代入上式计算,得到的值越来越精确。

或者这么解释:

  1. 对x的平方根的值一个猜想y。
  2. 通过执行一个简单的操作去得到一个更好的猜测:只需要求出y和x/y的平均值(它更接近实际的平方根值)。

例如,可以用这样方式去计算2的平方根。

猜想平均值
1 2/1=2 (2+1)/2 = 1.5
1.5 2/1.5=1.3333   (1.3333+1.5)/2 = 1.4167
1.4167 2/1.4167=1.4118  (1.4167+1.4118)/2=1.4142
1.4142     ...         ...

继续这一计算过程,我们就能得到对2的平方根的越来越好的近似值。

下面用C语言实现一遍:

01#include "stdio.h"
02#include "math.h"
03 
04int main(void)
05{
06    double n,y=1.0;
07 
08    printf("请输入一个需要求其平方根的数:");
09    scanf("%lf",&n);
10 
11    // 反复代入 x(k+1) = 0.5[x(k)+n/x(k)]
12    while(fabs((1.0/2.0*(y+n/y))-y)>=0.00001)
13    {
14        y=1.0/2.0*(y+n/y);
15        printf"y=%lf\n", y );
16    }
17    printf("平方根为%f\n",y);
18    return 0;
19}

程序运行结果:

01请输入一个需要求其平方根的数:2
02y=1.500000
03y=1.416667
04y=1.414216
05平方根为1.414216
06 
07请输入一个需要求其平方根的数:3
08y=2.000000
09y=1.750000
10y=1.732143
11y=1.732051
12平方根为1.732051

PS:Quake III公开源码后,有人在game/code/q_math.c里发现了这样一段代码。它的作用是将一个数开平方并取倒,经测试这段代码比(float)(1.0/sqrt(x))快4倍,有兴趣的可以研究一下。不过这是后话了,

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print?
01float Q_rsqrt( float number )
02{
03    long i;
04    float x2, y;
05    const float threehalfs = 1.5F;
06    x2 = number * 0.5F;
07    y  = number;
08    i  = * ( long * ) &y;       
09    i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 );
10    y  = * ( float * ) &i;
11    y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );
12    // y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );
13    #ifndef Q3_VM
14    #ifdef __linux__
15    assert( !isnan(y) );
16    #endif
17    #endif
18    return y;
19}

如何用牛顿法求一个数的平方根