Given a string S, find the longest palindromic substring in S. You may assume that the maximum length of S is 1000, and there exists one unique longest palindromic substring.

求最长回文子串的问题

个人思路：

1，暴力破解，求出字符串的所有子串O(n²)，再判断该子串是否为回文串O(n)，并记录下最长的那个回文子串，总时间复杂度为O(n³)，这么做会超时

2，使用manacher算法，这个算法非常巧妙，时间复杂度和空间复杂度均为O(n)，这里分享一个讲解该算法的文章：http://blog.csdn.net/ggggiqnypgjg/article/details/6645824，接下来说说我对这个算法的理解：

　　1，首先要明白，这个算法是在枚举中心点算法的基础上优化的，枚举中心点算法就是以每个字符为回文串的中心点，向左右两边扩张，以此获得一个最长的回文串，但要注意，该算法需要考虑奇数和偶数的情况，如"1221"和"121"

　　2，在用这个算法计算前，需要对原串s做一个处理，用一个例子来说明好了，如串s = "12212321"，处理之后变为串t = "^#1#2#2#1#2#3#2#1#$"，之后便是对t进行操作，这么处理有两个原因：第一个原因是在字符之间插入‘#‘字符，用于统一考虑奇数和偶数的情况，如果回文子串是偶数的，则会以‘#‘字符为中心点，如果为奇数，则会以原串中的字符为中心点；第二个原因是在头部和尾部插入两个不同的特殊字符，避免处理越界的情况。

　　3，设置一个数组P，用于记录以每个字符为中心点时的回文半径，即向右或者向左扩张的长度，这个长度不包括中心点，因此，该长度就是回文子串包含的非#字符的个数，也即有效的字符个数，比如，现在要计算P[5]（t的起始字符从0开始），很明显，以t[5]为中心点的回文串是"#1#2#2#1#"，向右扩张4个字符，则P[5] = 4，同时也等于该回文串实际的有效字符（1,2,2,1）的个数

　　4，好了，要进入该算法的正题了，如果只是枚举中心点的算法，则每次P[i]都是从0开始递增，但在这里，我们会利用回文的性质，来加速这个过程，当我们要计算P[i]时，如果t[i]落在t[j]的回文半径中，则有很好的一个性质，看下图：

先不用管3副图之间的差别，就看i,j,k这3个下标好了，i落在j的回文半径里，k是i相对于j的对称点，其实，回文串就是基于中心字符对称的，抓住这个性质，我们先抛出结论，P[i] >= min(P[k], j + P[j] - i)，如何得出这个结论的呢？这就要分析上图的3中情况了

　　第1种情况，k的回文范围还在j的回文范围中（除掉k-P[k] == j - P[j]的情况），此时根据j回文串的对称性和k回文串的对称性，可以得出P[i] >= P[k]，那i回文串还能否往外扩张呢？假设可以，则根据i回文串和k回文串的对称性可以知道k回文串的范围就不只是此时的长度了，得出矛盾，所以P[i] = P[k]

　　第2种情况，k的回文范围超出了j的回文范围，超出的那部分不在j回文串的保证范围内，因此P[i] >= j + P[j] - i，因为j + P[j] - i这段范围是得到保证的最大范围，那i回文串还能否往外扩张呢？假设可以，则根据i回文串和k回文串可以知道j回文串的范围就不只是此时的长度了，得出矛盾，所以P[i] = j + P[j] - i

　　第3种情况，k的回文范围刚好在j的回文边界上，根据1的部分推论，有P[i] >= P[k]，但由于此时k的回文边界与j的回文边界重合，i是可能往外扩张的，因为此时往外扩张不受到j回文串的制约了，这时需要在P[i] = P[k]的基础上，继续向外扩张来增长i回文串的长度

　　当然，上面讨论的情况都是i落在了某个中心点j的回文范围内，如果i不在任何中心点的回文范围内，则必须从P[i] = 0开始，不断试探扩张来计算回文长度

　　5，最后，需要把在t串中计算的长度和子串转成原串s中的长度和子串，这个比较容易，就不说了

代码：

 1 #include<string> 2 #include<vector> 3  4 using namespace std; 5  6 class Solution { 7 public: 8     string longestPalindrome(string s) { 9         if (s.empty())10         {11             return s;12         }13 14         string T = preProcess(s);15         const int length = T.length();16         vector<int> P; //每个字符为中心点时的回文半径，不包括中心点自己，因此，回文半径即为该回文串实际包含的字符数17         P.resize(length);18         P[1] = 0;19         int C = 1, E = 1; //向前覆盖最大的回文串中心点下标和边界点下标20         int maxC = 1; //最大回文半径的中心点下标21 22         for (int i = 2; i < length - 2; ++i)23         {24             P[i] = i < E ? min(P[2 * C - i], E - i) : 0;25 26             while (T[i + P[i] + 1] == T[i - P[i] - 1])27             {28                 ++P[i];29             }30 31             if (i + P[i] > E)32             {33                 C = i;34                 E = i + P[i];35             }36 37             if (P[i] > P[maxC])38             {39                 maxC = i;40             }41         }42         43         return s.substr((maxC - P[maxC] - 1) / 2, P[maxC]);44     }45 46     string preProcess(string s)47     {48         string t = "^#";49         int length = s.length();50 51         for (int i = 0; i < length; ++i)52         {53             t.insert(t.end(), s[i]);54             t.insert(t.end(), ‘#‘);55         }56         t.insert(t.end(), ‘$‘);57 58         return t;59     }60 };

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leetcode - Longest Palindromic Substring