BZOJ4013 [HNOI2015]实验比较

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2024-09-05 15:36:43 217人阅读

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Description

小D 被邀请到实验室，做一个跟图片质量评价相关的主观实验。实验用到的图片集一共有 N 张图片，编号为 1 到 N。实验分若干轮进行，在每轮实验中，小 D会被要求观看某两张随机选取的图片，然后小D 需要根据他自己主观上的判断确定这两张图片谁好谁坏，或者这两张图片质量差不多。用符号“<”、“>”和“=”表示图片 x和y（x、y为图片编号）之间的比较：如果上下文中x 和 y 是图片编号，则 x<y 表示图片 x“质量优于”y，x>y 表示图片 x“质量差于”y，x=y表示图片 x和 y“质量相同”；也就是说，这种上下文中，“<”、“>”、“=”分别是质量优于、质量差于、质量相同的意思；在其他上下文中，这三个符号分别是小于、大于、等于的含义。图片质量比较的推理规则（在 x和y是图片编号的上下文中）：（1）x < y等价于 y > x。（2）若 x < y且y = z，则x < z。（3）若x < y且 x = z，则 z < y。（4）x=y等价于 y=x。（5）若x=y且 y=z，则x=z。实验中，小 D 需要对一些图片对(x, y)，给出 x < y 或 x = y 或 x > y 的主观判断。小D 在做完实验后，忽然对这个基于局部比较的实验的一些全局性质产生了兴趣。在主观实验数据给定的情形下，定义这 N 张图片的一个合法质量序列为形如“x1 R1 x2 R2 x3 R3 …xN-1 RN-1 xN”的串，也可看作是集合{ xi Ri xi+1|1<=i<=N-1}，其中 xi为图片编号，x1,x2,…,xN两两互不相同（即不存在重复编号），Ri为<或=，“合法”是指这个图片质量序列与任何一对主观实验给出的判断不冲突。例如：质量序列3 < 1 = 2 与主观判断“3 > 1，3 = 2”冲突（因为质量序列中 3<1 且1=2，从而3<2，这与主观判断中的 3=2 冲突；同时质量序列中的 3<1 与主观判断中的 3>1 冲突），但与主观判断“2 = 1，3 < 2” 不冲突；因此给定主观判断“3>1，3=2”时，1<3=2 和1<2=3 都是合法的质量序列，3<1=2 和1<2<3都是非法的质量序列。由于实验已经做完一段时间了，小D已经忘了一部分主观实验的数据。对每张图片 i，小 D 都最多只记住了某一张质量不比 i 差的另一张图片 Ki。这些小 D 仍然记得的质量判断一共有 M 条（0 <= M <= N），其中第i 条涉及的图片对为(KXi, Xi)，判断要么是KXi < Xi ，要么是KXi = Xi，而且所有的Xi互不相同。小D 打算就以这M 条自己还记得的质量判断作为他的所有主观数据。现在，基于这些主观数据，我们希望你帮小D 求出这 N 张图片一共有多少个不同的合法质量序列。我们规定：如果质量序列中出现“x = y”，那么序列中交换 x和y的位置后仍是同一个序列。因此： 1<2=3=4<5 和1<4=2=3<5 是同一个序列， 1 < 2 = 3 和 1 < 3 = 2 是同一个序列，而1 < 2 < 3 与1 < 2 = 3是不同的序列，1<2<3和2<1<3 是不同的序列。由于合法的图片质量序列可能很多，所以你需要输出答案对10^9 + 7 取模的结果

Input

第一行两个正整数N,M，分别代表图片总数和小D仍然记得的判断的条数；

接下来M行，每行一条判断，每条判断形如”x < y”或者”x = y”。

Output

输出仅一行，包含一个正整数，表示合法质量序列的数目对 10^9+7取模的结果。

Sample Input

5 4
1 < 2
1 < 3
2 < 4
1 = 5

Sample Output

HINT

不同的合法序列共5个，如下所示：

1 = 5 < 2 < 3 < 4

1 = 5 < 2 < 4 < 3

1 = 5 < 2 < 3 = 4

1 = 5 < 3 < 2 < 4

1 = 5 < 2 = 3 < 4

100%的数据满足N<=100。

正解：DP+组合数学

解题报告：

　　考虑先把相等的变量用并查集合起来。

　　题目中说只存在最多一个质量不比i差的数，这不就是一棵树吗QAQ

　　新建一个虚拟根，向入度为$0$的点连边，跑一遍树形$DP$。

　　用$f[i][j]$表示以$i$为根的子树中分为$j$个不等的段的方案数。

　　转移的话不妨考虑一下：如何把长为$a$、$b$的两个序列合并。

　　假设合并后长度为$c$，那么$max(a,b)<=c<=a+b$，而且$f[i][c]=f[v1][a]*f[v2][b]*C_{c}^{a}*C_{a}^{b-(c-a)}$，

　　这个的含义是先在$c$个位置中选$a$个则剩下的$c-a$个显然只能放第二个序列中的数，下一步就是从$b$个数中选出一些数与之前的$a$个数中的一些合并，一共有$b-(c-a)$这样的需要合并的数。

　　所以上式就不难解释了。

//It is made by ljh2000
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <ctime>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <complex>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MOD = 1000000007;
const int MAXN = 120;
int n,m,father[MAXN],cnt,first[MAXN],ecnt,to[MAXN],next[MAXN],in[MAXN],size[MAXN];
LL C[MAXN][MAXN],f[MAXN][MAXN],p[MAXN],ans;
char ch[12];
//只存在最多一个质量不比i差的数，这不就是一棵树吗QAQ
struct edge{ int x,y; }e[MAXN];
inline int find(int x){ if(father[x]!=x) father[x]=find(father[x]); return father[x]; }
inline void link(int x,int y){ next[++ecnt]=first[x]; first[x]=ecnt; to[ecnt]=y; }
inline int getint(){
    int w=0,q=0; char c=getchar(); while((c<‘0‘||c>‘9‘) && c!=‘-‘) c=getchar();
    if(c==‘-‘) q=1,c=getchar(); while (c>=‘0‘&&c<=‘9‘) w=w*10+c-‘0‘,c=getchar(); return q?-w:w;
}

inline void dfs(int x,int fa){
	f[x][0]=1; int lim; LL now;
	for(int i=first[x];i;i=next[i]) {
		int v=to[i]; if(v==fa) continue;
		dfs(v,x); size[x]+=size[v];
		for(int j=0;j<=size[x];j++) {
			for(int k=1;k<=size[v];k++) {
				lim=min(n,j+k);
				for(int l=max(j,k);l<=lim;l++) {
					now=C[l][j]*C[j][k-(l-j)]; now%=MOD;
					now*=f[x][j]; now%=MOD;
					now*=f[v][k-1]; now%=MOD;
					p[l]+=now; p[l]%=MOD;
				}
			}
		}
		for(int j=0;j<=size[x];j++) f[x][j]=p[j],p[j]=0;
	}
	size[x]++;
}

inline void work(){
	n=getint(); m=getint(); int x,y;
	for(int i=0;i<=n;i++) father[i]=i,C[i][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
			C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j],C[i][j]%=MOD;

	for(int i=1;i<=m;i++) {
		x=getint(); scanf("%s",ch); y=getint();
		if(ch[0]==‘=‘) father[find(y)]=find(x);
		else e[++cnt].x=x,e[cnt].y=y;
	}

	for(int i=1;i<=cnt;i++) 
		link(find(e[i].x),find(e[i].y)),in[find(e[i].y)]++;

	cnt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) 
		if(find(i)==i) {
			if(in[find(i)]==0) link(n+1,i);
			cnt++;
		}


	dfs(n+1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++) ans+=f[n+1][i],ans%=MOD;
	printf("%lld",ans);
}

int main()
{
    work();
    return 0;
}

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