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[BZOJ 4008][HNOI2015]亚瑟王(期望Dp)

Description

小 K 不慎被 LL 邪教洗脑了,洗脑程度深到他甚至想要从亚瑟王邪教中脱坑。

他决定,在脱坑之前,最后再来打一盘亚瑟王。既然是最后一战,就一定要打得漂
亮。众所周知,亚瑟王是一个看脸的游戏,技能的发动都是看概率的。作为一个非
洲人,同时作为一个前 OIer,小 K 自然是希望最大化造成伤害的期望值。但他已
经多年没写过代码,连 Spaly都敲不对了,因此,希望你能帮帮小 K,让他感受一
下当欧洲人是怎样的体验。 
本题中我们将考虑游戏的一个简化版模型。 
玩家有一套卡牌,共 n张。游戏时,玩家将 n 张卡牌排列成某种顺序,排列后
将卡牌按从前往后依次编号为 1 ~  n。本题中,顺序已经确定,即为输入的顺序。
每张卡牌都有一个技能。第 i 张卡牌的技能发动概率为 pi,如果成功发动,则会对
敌方造成di点伤害。也只有通过发动技能,卡牌才能对敌方造成伤害。基于现实因
素以及小K非洲血统的考虑,pi不会为 0,也不会为 1,即 0 < pi < 1。 
一局游戏一共有 r 轮。在每一轮中,系统将从第一张卡牌开始,按照顺序依次
考虑每张卡牌。在一轮中,对于依次考虑的每一张卡牌: 
1如果这张卡牌在这一局游戏中已经发动过技能,则 
1.1 如果这张卡牌不是最后一张,则跳过之(考虑下一张卡牌); 
否则(是最后一张),结束这一轮游戏。 
2否则(这张卡牌在这一局游戏中没有发动过技能),设这张卡牌为第 i 张 
2.1将其以 pi的概率发动技能。 
2.2如果技能发动,则对敌方造成 di点伤害,并结束这一轮。 
2.3如果这张卡牌已经是最后一张(即 i 等于n),则结束这一轮;否则,
考虑下一张卡牌。 
请帮助小 K 求出这一套卡牌在一局游戏中能造成的伤害的期望值。

Solution

感觉是个非常厉害的期望dp…完全没想到…

卡牌在哪一轮使用其实不重要,用f[i][j]来表示卡牌i到n还有j个发动机会的概率:

f[i][j]=f[i-1][j]*(1-p[i-1])j+f[i-1][j+1]*[1-(1-p[i-1])j+1]

于是每个f[i][j]对答案产生的贡献就是f[i][j]*[1-(1-p[i])j]*d[i]

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>using namespace std;int t,n,r,d[250];double p[250],f[250][150],ans;double pow(double a,int n){    double res=1;    while(n)    {        if(n&1)res*=a;        a*=a;        n>>=1;    }    return res;}int main(){    scanf("%d",&t);    while(t--)    {        scanf("%d%d",&n,&r);        for(int i=1;i<=n;i++)        scanf("%lf%d",&p[i],&d[i]);        memset(f,0,sizeof(f));        f[0][r]=1,ans=0;        for(int i=1;i<=n;i++)        {            for(int j=1;j<=r;j++)            {                f[i][j]=f[i-1][j]*pow(1-p[i-1],j)+f[i-1][j+1]*(1-pow(1-p[i-1],j+1));                ans+=f[i][j]*(1-pow(1-p[i],j))*d[i];             }        }        printf("%.10lf\n",ans);    }    return 0;}

 

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