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树状数组

昨天学了一下树状数组,随笔都写了一大半,结果一个不小心就把他给删了,哎。。。。。。今天就当是复习吧!再写一次。

         如果给定一个数组,要你求里面所有数的和,一般都会想到累加。但是当那个数组很大的时候,累加就显得太耗时了,时间复杂度为O(n),并且采用累加的方法 还有一个局限,那就是,当修改掉数组中的元素后,仍然要你求数组中某段元素的和,就显得麻烦了。所以我们就要用到树状数组,他的时间复杂度为 O(lgn),相比之下就快得多。下面就讲一下什么是树状数组:

         一般讲到树状数组都会少不了下面这个图:

        

         下面来分析一下上面那个图看能得出什么规律:

         据图可 知:c1=a1,c2=a1+a2,c3=a3,c4=a1+a2+a3+a4,c5=a5,c6=a5+a6,c7=a7,c8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8,c9=a9,c10=a9+a10,c11=a11........c16=a1+a2+a3+a4+a5+.......+a16。

         分析上面的几组式子可知,当 i 为奇数时,ci=ai ;当 i 为偶数时,就要看 i 的因子中最多有二的多少次幂,例如,6 的因子中有 2 的一次幂,等于 2 ,所以 c6=a5+a6(由六向前数两个数的和),4 的因子中有 2 的两次幂,等于 4 ,所以 c4=a1+a2+a3+a4(由四向前数四个数的和)。

        (一)有公式:cn=a(n-a^k+1)+.........+an(其中 k 为 n 的二进制表示中从右往左数的 0 的个数)。

         那么,如何求 a^k 呢?求法如下:

int lowbit(int x)
{
     return x&(-x);   
}

         lowbit()的返回值就是 2^k 次方的值。

         求出来 2^k 之后,数组 c 的值就都出来了,接下来我们要求数组中所有元素的和。

         (二)求数组的和的算法如下:

         (1)首先,令sum=0,转向第二步;

         (2)接下来判断,如果 n>0 的话,就令sum=sum+cn转向第三步,否则的话,终止算法,返回 sum 的值;

         (3)n=n - lowbit(n)(将n的二进制表示的最后一个零删掉),回第二步。

          代码实现:

int Sum(int n)
{
    int sum=0;
    while(n>0)
    {
         sum+=c[n];
         n=n-lowbit(n);
    }   
    return sum;
}

         (三)当数组中的元素有变更时,树状数组就发挥它的优势了,算法如下(修改为给某个节点 i 加上 x ):

         (1)当 i<=n 时,执行下一步;否则的话,算法结束;

         (2)ci=ci+x ,i=i+lowbit(i)(在 i 的二进制表示的最后加零),返回第一步。

          代码实现:

void change(int i,int x)
{
     while(i<=n)
     {
          c[i]=c[i]+x;
          i=i+lowbit(i);
     }
}

树状数组