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树状数组

2024-07-15 21:26:33   217人阅读

基本概念
树状数组(Binary Indexed Tree(BIT), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值。
假设数组A[1..n]， 用C[i]表示A[i-2k +1]到A[i]的和，而k则是i在二进制时末尾0的个数，或者说是i用2的幂方和表示时的最小指数。当然，利用位运算，我们可以直接计算出2k=i and (i xor (i-1)) 或 i and (-i)；

树状数组C，其中C[i]=a[i-2k+1]+……+a[i](k为i在二进制形式下末尾0的个数)。由c数组的定义可以得出：
c[1]=a[1] 
c[2]=a[1]+a[2]=c[1]+a[2] 
c[3]=a[3] 
c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]=c[2]+c[3]+a[4] 
c[5]=a[5] 
c[6]=a[5]+a[6]=c[5]+a[6]
……
<pitcture>
1.求最小幂2^k
int lowbit(int n){
    return n&(n^(n-1));
}
也可以写成：
int lowbit(int n){
    return n&(-n);
}

2.对某个元素进行加法操作：将a[p]的值加上一个值x(x可正可负)；
//向上更新
void ADD(int p, int val){
    while(p<=maxn){  //maxn是给定上限
        c[p] += val;
        p += lowbit(p);
    }
}

3.当想要查询一个sum(n)(a[0]~a[n]的值)
int getsum(int p){
    int sum = 0;
    while(p>0){
        sum += c[p];
        p -= lowbit(p);
    }
    return sum;
}



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HDU-1556   http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1556
HDU-1166  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1166


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