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bzoj2876 [Noi2012]骑行川藏

Description

蛋蛋非常热衷于挑战自我,今年暑假他准备沿川藏线骑着自行车从成都前往拉萨。川藏线的沿途有着非常美丽的风景,但在这一路上也有着很多的艰难险阻,路况变化多端,而蛋蛋的体力十分有限,因此在每天的骑行前设定好目的地、同时合理分配好自己的体力是一件非常重要的事情。
由于蛋蛋装备了一辆非常好的自行车,因此在骑行过程中可以认为他仅在克服风阻做功(不受自行车本身摩擦力以及自行车与地面的摩擦力影响)。某一天他打算骑N段路,每一段内的路况可视为相同:对于第i段路,我们给出有关这段路况的3个参数 si , ki , vi‘ ,其中 si 表示这段路的长度, ki 表示这段路的风阻系数, vi‘ 表示这段路上的风速(表示在这段路上他遇到了顺风,反之则意味着他将受逆风影响)。若某一时刻在这段路上骑车速度为v,则他受到的风阻大小为 F = ki ( v - vi‘ )2(这样若在长度为s的路程内保持骑行速度v不变,则他消耗能量(做功)E = ki ( v - vi‘ )2 s)。
设蛋蛋在这天开始时的体能值是 Eu ,请帮助他设计一种行车方案,使他在有限的体力内用最短的时间到达目的地。请告诉他最短的时间T是多少。

【评分方法】
本题没有部分分,你程序的输出只有和标准答案的差距不超过0.000001时,才能获得该测试点的满分,否则不得分。

【数据规模与约定】
对于10%的数据,N=1;
对于40%的数据,N<=2;
对于60%的数据,N<=100;
对于80%的数据,N<=1000;
对于所有数据,N <= 10000,0 <= Eu <= 108,0 < si <= 100000,0 < ki <= 1,-100 < vi‘ < 100。数据保证最终的答案不会超过105。

【提示】
必然存在一种最优的体力方案满足:蛋蛋在每段路上都采用匀速骑行的方式。

Input

第一行包含一个正整数N和一个实数Eu,分别表示路段的数量以及蛋蛋的体能值。 接下来N行分别描述N个路段,每行有3个实数 si , ki , vi‘ ,分别表示第 i 段路的长度,风阻系数以及风速。

Output

输出一个实数T,表示蛋蛋到达目的地消耗的最短时间,要求至少保留到小数点后6位。

Sample Input


3 10000
10000 10 5
20000 15 8
50000 5 6

Sample Output

12531.34496464
【样例说明】 一种可能的方案是:蛋蛋在三段路上都采用匀速骑行的方式,其速度依次为5.12939919, 8.03515481, 6.17837967。

 

正解:拉格朗日乘子法+二分答案。

ZYT学长的题解:http://www.cnblogs.com/MashiroSky/p/6368825.html

其实这道题暴力还是挺简单的,直接三分就行了。。

然而这道题我不知道怎么求偏导数,我连偏导数是什么都不知道,虽然我知道只有偏导数才是难点。。

 

拉格朗日乘子法可以解决如下问题:

在满足$g(x1,x2,...)=c$(c为常数)的情况下,求出$f(x1,x2,...)$的最小值。

 

然后接下来的话不是人话:

我们可以发现,$f$取最值时,$f$和$g$的等高线相切。当等高线相切时$f$和$g$的梯度向量平行,也就是$\nabla f//\nabla g$。

然后梯度向量的每一维就对应$f$每一维的偏导数。具体表示见ZYT学长博客。。

我们求出偏导数以后,可以列出$n$个方程,再加上一个约束,也就是$n+1$个方程。

 

如果忽略上面的步骤那么这道题还是很容易的。。

于是最后的方程就是这样:$2\lambda k_{i}v_{i}^{2}(v_{i}-{v_{i}}‘)=-1$

再加上一个约束条件就是:$\sum_{i=1}^{n}k_{i}(v_{i}-v_{i}^{‘})s_{i}=E$

我们可以很容易发现,$v_{i}$的下限是$v_{i}^{‘}$,上限是每段路用$E$能量的速度(然而因为$s_{i}$可能为$0$所以要用$inf$)。

所以,$k_{i}v_{i}^{2}(v_{i}-{v_{i}}‘)>0$,那么$\lambda <0$。且随$\lambda $增大,$v_{i}$也增大;随着$v_{i}$增大,$E$增大,方程减小。

那么思路就很明显了,首先二分$\lambda$,然后再二分得出$v_{i}$,每次二分$\lambda$时判断能量总和是否超过$E$,每次二分$v_{i}$时判断方程是否满足大于等于$1$。这样,我们就能求出每个$v_{i}$,算出答案了。

 

 1 //It is made by wfj_2048~ 2 #include <algorithm> 3 #include <iostream> 4 #include <complex> 5 #include <cstring> 6 #include <cstdlib> 7 #include <cstdio> 8 #include <vector> 9 #include <cmath>10 #include <queue>11 #include <stack>12 #include <map>13 #include <set>14 #define eps (1e-13)15 #define inf (1e18)16 #define N (10010)17 #define il inline18 #define RG register19 #define ll long long20 #define ld long double21 #define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)22 23 using namespace std;24 25 ld s[N],k[N],v[N],vv[N],E,ans,lambda;26 int n;27 28 il int check(RG ld key){29     RG ld res=0,l,r,mid;30     for (RG int i=1;i<=n;++i){31     l=max((ld)0.0,vv[i]),r=inf,v[i]=l;32     while (l<=r){33         mid=(l+r)/2;34         if (2*key*k[i]*mid*mid*(mid-vv[i])>=-1) v[i]=mid,l=mid+eps; else r=mid-eps;35     }36     res+=k[i]*s[i]*(v[i]-vv[i])*(v[i]-vv[i]);37     }38     return res<=E;39 }40 41 il void work(){42     scanf("%d%Lf",&n,&E);43     for (RG int i=1;i<=n;++i) scanf("%Lf%Lf%Lf",&s[i],&k[i],&vv[i]);44     RG ld l=-inf,r=0.0,mid;45     while (l<=r){46     mid=(l+r)/2;47     if (check(mid)) lambda=mid,l=mid+eps; else r=mid-eps;48     }49     check(lambda);50     for (RG int i=1;i<=n;++i) ans+=s[i]/v[i];51     printf("%0.9Lf",ans); return;52 }53 54 int main(){55     File("bicycle");56     work();57     return 0;58 }

 

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